Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có ABCDlà hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
B. $\dfrac{8\pi {{a}^{2}}}{3}$
C. $\dfrac{5\pi {{a}^{2}}}{3}$
D. $\pi {{a}^{2}}$
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
B. $\dfrac{8\pi {{a}^{2}}}{3}$
C. $\dfrac{5\pi {{a}^{2}}}{3}$
D. $\pi {{a}^{2}}$
Lời giải
+ Gọi ,M N lần lượt là trung điểm AB , CD . Kẻ SH ⊥ MN tại H ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
$\Rightarrow SM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};SN=\dfrac{a}{2};MN=a\Rightarrow \Delta SMN$ vuông tại $S\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4},OH=\dfrac{a}{4}$
+ Gọi I,J là hình chiếu vuông góc của H lên $OC,OD\Rightarrow OI=OJ=\dfrac{a\sqrt{2}}{8}.$
+ Gọi $O=AC\cap BD.$ Qua O dựng đường thẳng $\Delta \bot \left( ABCD \right).$
Cách 1:
+ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: $A\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;0 \right)\in Ox,B\left( 0;\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0 \right)\in Oy$ và $\Delta \equiv Oz.~$
$\Rightarrow C\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;0 \right),S\left( \dfrac{-a\sqrt{2}}{8};\dfrac{-a\sqrt{2}}{8};\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)$
+ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là mặt cầu đi qua 4 điểm $S,A,B,C~$
Suy ra phương trình mặt cầu là:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\dfrac{\sqrt{3}a}{3}z-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=0$
$\Rightarrow r=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\Rightarrow S=4\pi {{r}^{2}}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
Cách 2:
Trên 2 tia OM , ON lấy hai điểm $P,P'$ sao cho $OP=OP'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow PP'=a\sqrt{2}$
$+SP=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3+\sqrt{2}}}{2};SP'=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}$
+ Trong tam giác $SPP'$ có: ${{S}_{\Delta SPP'}}=\dfrac{1}{2}PP'.SH=\dfrac{SP.SP'.PP'}{4.R}\Rightarrow R=\dfrac{SP.SP'}{2.SH}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
Vậy diện tích mặt cầu là: $S=4\pi {{R}^{2}}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
+ Gọi ,M N lần lượt là trung điểm AB , CD . Kẻ SH ⊥ MN tại H ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
$\Rightarrow SM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};SN=\dfrac{a}{2};MN=a\Rightarrow \Delta SMN$ vuông tại $S\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4},OH=\dfrac{a}{4}$
+ Gọi I,J là hình chiếu vuông góc của H lên $OC,OD\Rightarrow OI=OJ=\dfrac{a\sqrt{2}}{8}.$
+ Gọi $O=AC\cap BD.$ Qua O dựng đường thẳng $\Delta \bot \left( ABCD \right).$
Cách 1:
+ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: $A\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;0 \right)\in Ox,B\left( 0;\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0 \right)\in Oy$ và $\Delta \equiv Oz.~$
$\Rightarrow C\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;0 \right),S\left( \dfrac{-a\sqrt{2}}{8};\dfrac{-a\sqrt{2}}{8};\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)$
+ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là mặt cầu đi qua 4 điểm $S,A,B,C~$
Suy ra phương trình mặt cầu là:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\dfrac{\sqrt{3}a}{3}z-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=0$
$\Rightarrow r=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\Rightarrow S=4\pi {{r}^{2}}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
Cách 2:
Trên 2 tia OM , ON lấy hai điểm $P,P'$ sao cho $OP=OP'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow PP'=a\sqrt{2}$
$+SP=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3+\sqrt{2}}}{2};SP'=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}$
+ Trong tam giác $SPP'$ có: ${{S}_{\Delta SPP'}}=\dfrac{1}{2}PP'.SH=\dfrac{SP.SP'.PP'}{4.R}\Rightarrow R=\dfrac{SP.SP'}{2.SH}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
Vậy diện tích mặt cầu là: $S=4\pi {{R}^{2}}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
Đáp án A.