Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng $BD$ và $\left( SAD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Đặt $AB=a$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $SH\bot AB$, do $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Suy ra $SH\bot AD$, mặt khác $AD\bot AB$ suy ra $AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right)$
Gọi $K$ là trung điểm của $SA$, do tam giác $SAB$ đều nên $BK\bot SA\Rightarrow BK\bot \left( SAD \right).$
Do đó $DK$ là hình chiếu vuông góc của $BD$ lên mặt phẳng $\left( SAD \right)$
Suy ra $\widehat{\left( BD,\left( SAD \right) \right)}=\widehat{\left( BD,DK \right)}=\widehat{BDK}$
Ta có $BD=a\sqrt{2}, BK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow DK=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
$$ $\cos \widehat{\left( BD,\left( SAD \right) \right)}=\cos \widehat{BDK}=\dfrac{DK}{BD}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $SH\bot AB$, do $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Suy ra $SH\bot AD$, mặt khác $AD\bot AB$ suy ra $AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right)$
Gọi $K$ là trung điểm của $SA$, do tam giác $SAB$ đều nên $BK\bot SA\Rightarrow BK\bot \left( SAD \right).$
Do đó $DK$ là hình chiếu vuông góc của $BD$ lên mặt phẳng $\left( SAD \right)$
Suy ra $\widehat{\left( BD,\left( SAD \right) \right)}=\widehat{\left( BD,DK \right)}=\widehat{BDK}$
Ta có $BD=a\sqrt{2}, BK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow DK=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
$$ $\cos \widehat{\left( BD,\left( SAD \right) \right)}=\cos \widehat{BDK}=\dfrac{DK}{BD}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}.$
Đáp án C.