Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và $AB=2a,BC=a.$ Biết hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết góc tạo bởi 2 mặt (SBC) và (ABCD) bằng $60{}^\circ .$ Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SC và HD.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}.$
B. $h=\dfrac{a\sqrt{264}}{11}.$
C. $h=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$
D. $h=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}.$
Dựng hình bình hành HDCE.
Suy ra $HD//CE\Rightarrow HD//\left( SCE \right).$
Khi đó:
$h=d\left( HD,SC \right)=d\left( HD,\left( SCE \right) \right)=d\left( H,\left( SCE \right) \right)=HK$
(như hình vẽ). Ta có: $EC=HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Suy ra: $HI=\dfrac{{{S}_{HDCE}}}{EC}=\dfrac{{{S}_{ABCD}}}{EC}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Tam giác SAB cân tại S và $\left( SB,\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SBA}=60{}^\circ .$
Suy ra $\Delta SAB$ đều cạnh $AB=2a\Rightarrow SH=a\sqrt{3}.$
Ta có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{6{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$ Vậy $d\left( HD,SC \right)=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$
A. $h=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}.$
B. $h=\dfrac{a\sqrt{264}}{11}.$
C. $h=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$
D. $h=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}.$
Dựng hình bình hành HDCE.
Suy ra $HD//CE\Rightarrow HD//\left( SCE \right).$
Khi đó:
$h=d\left( HD,SC \right)=d\left( HD,\left( SCE \right) \right)=d\left( H,\left( SCE \right) \right)=HK$
(như hình vẽ). Ta có: $EC=HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Suy ra: $HI=\dfrac{{{S}_{HDCE}}}{EC}=\dfrac{{{S}_{ABCD}}}{EC}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Tam giác SAB cân tại S và $\left( SB,\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SBA}=60{}^\circ .$
Suy ra $\Delta SAB$ đều cạnh $AB=2a\Rightarrow SH=a\sqrt{3}.$
Ta có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{6{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$ Vậy $d\left( HD,SC \right)=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$
Đáp án C.