Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và $A B = 2 a, B C = a .$ ...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và

A B = 2 a, B C = a .

Biết hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết góc tạo bởi 2 mặt (SBC) và (ABCD) bằng

60^{\circ} .

Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SC và HD.

A.

h = \frac{a \sqrt{66}}{11} .

B.

h = \frac{a \sqrt{264}}{11} .

C.

h = \frac{a \sqrt{30}}{5} .

D.

h = \frac{a \sqrt{30}}{3} .

Dựng hình bình hành HDCE.
Suy ra

H D / / C E \Rightarrow H D / / (S C E) .

Khi đó:

h = d (H D, S C) = d (H D, (S C E)) = d (H, (S C E)) = H K

(như hình vẽ). Ta có:

E C = H D = \sqrt{A H^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2} .

Suy ra:

H I = \frac{S_{H D C E}}{E C} = \frac{S_{A B C D}}{E C} = \frac{2 a^{2}}{a \sqrt{2}} = a \sqrt{2} .

Tam giác SAB cân tại S và

(S B, (A B C D)) = \hat{S B A} = 60^{\circ} .

Suy ra

Δ S A B

đều cạnh

A B = 2 a \Rightarrow S H = a \sqrt{3} .

Ta có:

\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} = \frac{5}{6 a^{2}}

\Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{30}}{5} .

Vậy

d (H D, S C) = \frac{a \sqrt{30}}{5} .

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và AB=2a,BC=a....