Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC\text{D}$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\angle BA\text{D}=60{}^\circ $, $SB=S\text{D}=SC$, $M$ là trung điểm của $S\text{D}$, $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC\text{D} \right)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SH$ và $CM$
A. $\dfrac{a\sqrt{17}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{14}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{7}$.
Ta có: $ABC\text{D}$ là hình thoi có $\angle BAD=60{}^\circ $ nên $\Delta BC\text{D}$ là tam giác đều cạnh $a.$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& SB=SC=S\text{D} \\
& SH\bot \left( ABC\text{D} \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow H $ là trọng tâm $ \Delta BC\text{D}$.
Gọi $I,N$ lần lượt là trung điểm của $DH,BC$.
$\Delta S\text{DH}$ có $MI$ là đường trung bình.
$\Rightarrow MI//SH\Rightarrow SH//\left( MIC \right)\Rightarrow d\left( SH,CM \right)=d\left( SH,\left( MCI \right) \right)=d\left( H,\left( CMI \right) \right)=HK$
$HK$ là đường cao của $\Delta IHC$.
Ta có: ${{S}_{\Delta IHC}}=\dfrac{1}{2}.IH.CN=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.DN.CN=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{24}$
${{S}_{\Delta IHC}}=\dfrac{1}{2}.HK.CI\Rightarrow HK=\dfrac{2{{\text{S}}_{\Delta IHC}}}{CI}$
$\Delta DIC$ có: $IC=\sqrt{D{{I}^{2}}+D{{C}^{2}}-2.DI.DC.\cos 30{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{12}}a$.
Vậy $HK=\dfrac{2{{\text{S}}_{\Delta IHC}}}{IC}=\dfrac{2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{24}.\sqrt{\dfrac{7}{12}}.a=\dfrac{a\sqrt{7}}{14}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{17}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{14}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{7}$.
Ta có: $ABC\text{D}$ là hình thoi có $\angle BAD=60{}^\circ $ nên $\Delta BC\text{D}$ là tam giác đều cạnh $a.$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& SB=SC=S\text{D} \\
& SH\bot \left( ABC\text{D} \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow H $ là trọng tâm $ \Delta BC\text{D}$.
Gọi $I,N$ lần lượt là trung điểm của $DH,BC$.
$\Delta S\text{DH}$ có $MI$ là đường trung bình.
$\Rightarrow MI//SH\Rightarrow SH//\left( MIC \right)\Rightarrow d\left( SH,CM \right)=d\left( SH,\left( MCI \right) \right)=d\left( H,\left( CMI \right) \right)=HK$
$HK$ là đường cao của $\Delta IHC$.
Ta có: ${{S}_{\Delta IHC}}=\dfrac{1}{2}.IH.CN=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.DN.CN=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{24}$
${{S}_{\Delta IHC}}=\dfrac{1}{2}.HK.CI\Rightarrow HK=\dfrac{2{{\text{S}}_{\Delta IHC}}}{CI}$
$\Delta DIC$ có: $IC=\sqrt{D{{I}^{2}}+D{{C}^{2}}-2.DI.DC.\cos 30{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{12}}a$.
Vậy $HK=\dfrac{2{{\text{S}}_{\Delta IHC}}}{IC}=\dfrac{2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{24}.\sqrt{\dfrac{7}{12}}.a=\dfrac{a\sqrt{7}}{14}$.
Đáp án A.