Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho $MA=2SM,SN=2SB$, $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa điện $\left( {{H}_{1}} \right)$ và $\left( {{H}_{2}} \right)$ với $\left( {{H}_{1}} \right)$ là khối đa điện chứa điểm S và $\left( {{H}_{2}} \right)$ là khối đa điện chứa điểm A. Gọi ${{V}_{1}}$ và ${{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của $\left( {{H}_{1}} \right)$ và $\left( {{H}_{2}} \right)$. Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. $\dfrac{4}{5}$.
C. $\dfrac{5}{4}$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
Dựng $ME//SC,NF//SC$ với $E\in AC,F\in BC$.
Khi đó $\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{1}{2},\dfrac{FC}{FB}=2$. Đặt ${{V}_{ABCD}}=V$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.FEC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{{{S}_{FEC}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{S.BEC}}=\dfrac{2}{9}V$
Lại có: ${{V}_{S.ENF}}=\dfrac{2}{3}.{{V}_{S.BEF}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{27}V$
${{V}_{S.MNE}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.{{V}_{S.ABE}}=\dfrac{2}{9}.\dfrac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4}{27}V$
Suy ra ${{V}_{S.MNFCE}}=\dfrac{2}{9}V+\dfrac{2}{28}V+\dfrac{4}{27}V=\dfrac{4}{9}V\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{4}{5}$.
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. $\dfrac{4}{5}$.
C. $\dfrac{5}{4}$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
Dựng $ME//SC,NF//SC$ với $E\in AC,F\in BC$.
Khi đó $\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{1}{2},\dfrac{FC}{FB}=2$. Đặt ${{V}_{ABCD}}=V$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.FEC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{{{S}_{FEC}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{S.BEC}}=\dfrac{2}{9}V$
Lại có: ${{V}_{S.ENF}}=\dfrac{2}{3}.{{V}_{S.BEF}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{27}V$
${{V}_{S.MNE}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.{{V}_{S.ABE}}=\dfrac{2}{9}.\dfrac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4}{27}V$
Suy ra ${{V}_{S.MNFCE}}=\dfrac{2}{9}V+\dfrac{2}{28}V+\dfrac{4}{27}V=\dfrac{4}{9}V\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{4}{5}$.
Đáp án B.