Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30{}^\circ $, $BC=a$. Hai mặt bên $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với đáy $\left( ABC \right)$, mặt bên $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{32}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{64}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$.
Kẻ $AH\bot BC\Rightarrow SH\bot BC$
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& BC\bot AH \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{SHA}=45{}^\circ $
Mà $AB=BC.\text{cos}30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AC=BC.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2}$ nên $AH=AB.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Nên $SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Do đó $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{6}AB.AC.SA=\dfrac{{{a}^{3}}}{32}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{32}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{64}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$.
Kẻ $AH\bot BC\Rightarrow SH\bot BC$
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& BC\bot AH \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{SHA}=45{}^\circ $
Mà $AB=BC.\text{cos}30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AC=BC.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2}$ nên $AH=AB.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Nên $SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Do đó $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{6}AB.AC.SA=\dfrac{{{a}^{3}}}{32}$.
Đáp án B.