Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$, đáy là tam giác $ABC$ có $AB = a; AC = a\sqrt{2}$ và $\widehat{CAB} = {{135}^{0}}$, tam giác $SAB$ vuông tại $B$ và tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Biết góc giũa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SAB \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SB \\
& AB\bot SD \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow AB \bot \left( SBD \right) \Rightarrow AB \bot BD$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SA \\
& AC\bot SD \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow AC\bot \left( SAD \right) \Rightarrow AC \bot AD$.
Tam giác $ABC$ có $\widehat{CAB} = {{135}^{0}} \Rightarrow \widehat{BAD } = {{45}^{0}}$.
Tam giác $ABD$ vuông vuông tại $B$ có $\widehat{BAD} = {{45}^{0}}$ suy ra tam giác $ABD$ cân và $AD = a\sqrt{2}$.
Từ đó có tam giác $ACD$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow $ tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$ và $D$.
Trong mặt phẳng $\left( SBD \right)$, hạ $DH \bot SB (H \in SB)$. Dễ chứng minh $DH \bot \left( SAB \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SAD \right)$, hạ $DK \bot SA (K \in SA) $. Dễ chứng minh $DK \bot \left( SAC \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ ta có $\alpha = \widehat{\left( DH, DK \right)} = \widehat{HDK} = {{30}^{0}}$ do đó tam
giác $DHK$ vuông tại $H$.
Đặt $SD = x, (x > 0 )$.
Tam giác $DHK$ vuông tại $H$ có
$\begin{aligned}
& \cos \widehat{HDK} = \dfrac{HD}{DK} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}} + {{x}^{2}}}} . \dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}} + {{x}^{2}}}}{\sqrt{2} . ax} \\
& \\
& \Leftrightarrow \sqrt{6} \sqrt{{{a}^{2}} + {{x}^{2}}} = 2\sqrt{2{{a}^{2}} + {{x}^{2}}} \\
& \\
& \Leftrightarrow 6{{a}^{2}} + 6{{x}^{2}} = 8{{a}^{2}} + 4{{x}^{2}} \\
& \\
\end{aligned}$
$ \Leftrightarrow x = a$.
${{V}_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6} . SD.AB.AC.\sin \widehat{BAC} = \dfrac{{{a}^{3}}}{6}$. Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SB \\
& AB\bot SD \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow AB \bot \left( SBD \right) \Rightarrow AB \bot BD$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SA \\
& AC\bot SD \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow AC\bot \left( SAD \right) \Rightarrow AC \bot AD$.
Tam giác $ABC$ có $\widehat{CAB} = {{135}^{0}} \Rightarrow \widehat{BAD } = {{45}^{0}}$.
Tam giác $ABD$ vuông vuông tại $B$ có $\widehat{BAD} = {{45}^{0}}$ suy ra tam giác $ABD$ cân và $AD = a\sqrt{2}$.
Từ đó có tam giác $ACD$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow $ tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$ và $D$.
Trong mặt phẳng $\left( SBD \right)$, hạ $DH \bot SB (H \in SB)$. Dễ chứng minh $DH \bot \left( SAB \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SAD \right)$, hạ $DK \bot SA (K \in SA) $. Dễ chứng minh $DK \bot \left( SAC \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ ta có $\alpha = \widehat{\left( DH, DK \right)} = \widehat{HDK} = {{30}^{0}}$ do đó tam
giác $DHK$ vuông tại $H$.
Đặt $SD = x, (x > 0 )$.
Tam giác $DHK$ vuông tại $H$ có
$\begin{aligned}
& \cos \widehat{HDK} = \dfrac{HD}{DK} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}} + {{x}^{2}}}} . \dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}} + {{x}^{2}}}}{\sqrt{2} . ax} \\
& \\
& \Leftrightarrow \sqrt{6} \sqrt{{{a}^{2}} + {{x}^{2}}} = 2\sqrt{2{{a}^{2}} + {{x}^{2}}} \\
& \\
& \Leftrightarrow 6{{a}^{2}} + 6{{x}^{2}} = 8{{a}^{2}} + 4{{x}^{2}} \\
& \\
\end{aligned}$
$ \Leftrightarrow x = a$.
${{V}_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6} . SD.AB.AC.\sin \widehat{BAC} = \dfrac{{{a}^{3}}}{6}$. Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Đáp án A.