Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=a;BC=\sqrt{3}a;CA=\sqrt{2}a;SA=SB=SC=2a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$
A. $\dfrac{\sqrt{26}}{24}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{26}}{12}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{26}}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{26}}{8}{{a}^{3}}$
A. $\dfrac{\sqrt{26}}{24}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{26}}{12}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{26}}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{26}}{8}{{a}^{3}}$
Xét $\Delta ABC$ có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$
$SA=SB=SC$ $\Rightarrow $ hình chiếu của $S$ lên $\left( ABC \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
* Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{2}a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$
* $SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{13}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{26}}{12}$
$SA=SB=SC$ $\Rightarrow $ hình chiếu của $S$ lên $\left( ABC \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
* $SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{13}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{26}}{12}$
Đáp án B.