Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{BSC}=120{}^\circ ,\widehat{CSA}=60{}^\circ ,\widehat{ASB}=90{}^\circ $ và $SA=SB=SC$. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I là trung điểm AB.
B. I là trọng tâm tam giác ABC.
C. I là trung điểm AC.
D. I là trung điểm BC.
Đặt $SA=SB=SC=a$.
Theo giả thiết ta có tam giác SAC đều cạnh a và tam giác SAB vuông cân tại $S\Rightarrow SA=SC=AC=a;AB=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác SBC ta có: $B{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-2.SB.SC.\cos \widehat{BSC}=3{{a}^{2}}$.
Do $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}$ nên tam giác ABC vuông tại A.
Vì $SA=SB=SC$ nên hình chiếu của S trên $\left( ABC \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác $\Delta ABC$ vuông tại A, suy ra I là trung điểm của BC.
A. I là trung điểm AB.
B. I là trọng tâm tam giác ABC.
C. I là trung điểm AC.
D. I là trung điểm BC.
Đặt $SA=SB=SC=a$.
Theo giả thiết ta có tam giác SAC đều cạnh a và tam giác SAB vuông cân tại $S\Rightarrow SA=SC=AC=a;AB=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác SBC ta có: $B{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-2.SB.SC.\cos \widehat{BSC}=3{{a}^{2}}$.
Do $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}$ nên tam giác ABC vuông tại A.
Vì $SA=SB=SC$ nên hình chiếu của S trên $\left( ABC \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác $\Delta ABC$ vuông tại A, suy ra I là trung điểm của BC.
Đáp án D.