Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{BAC}={90}^0,AB=3a,AC=4a,$ hình chiếu của đỉnh $S$ là một điểm $H$ nằm trong $\mathrm{\Delta }ABC.$ Biết khoảng...

$\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A\Rightarrow BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2}=\sqrt{25a^2}=5a$.
Vẽ $\mathrm{\Delta }MNP$ sao cho $AB,BC,CA$ là các đường trung bình của $\mathrm{\Delta }MNP\Rightarrow ACBN;ABCP$ là các hình bình hành; $ABMC$ là hình chữ nhật và $MP=6a;MN=8a;NP=10a$
Ta có: $BC//\left(SNP\right)\Rightarrow d(SA,BC)=d(BC,\left(SNP\right))=d(B,\left(SNP\right))$
Lại có:
${\displaystyle \frac{d(B,\left(SNP\right))}{d(M,\left(SNP\right))}}={\displaystyle \frac{BN}{MN}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow d(M,\left(SNP\right))=2d(B,\left(SNP\right))=2d(SA,BC)={\displaystyle \frac{12a\sqrt{34}}{17}}$
Tương tự ta tính được:
$d(P,\left(SMN\right))=2d(SB,CA)={\displaystyle \frac{24a}{5}}$ và $d(N,\left(SMP\right))=2d(SC,AB)={\displaystyle \frac{24a\sqrt{13}}{13}}$
Gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $NP,MP,MN$ và đặt $h=SH=d(S,\left(MNP\right))$
Ta có: $SH\mathrm{\perp }NP$ và $HD\mathrm{\perp }NP\Rightarrow NP\mathrm{\perp }\left(SHD\right)$
Chứng minh tương tự: $HE\mathrm{\perp }\left(SMP\right);HF\mathrm{\perp }\left(SMN\right)$
Do đó: $3V_{SMNP}=d(M,\left(SNP\right)).S_{SNP}=d(N,\left(SMP\right)).S_{SMP}$
$=d(P,\left(SMN\right)).S_{SMN}=d(S,\left(MNP\right)).S_{MNP}=h.S_{MNP}$
Mặt khác: $S_{SNP}={\displaystyle \frac{1}{2}}SD.NP=5a.SD;S_{SMP}={\displaystyle \frac{1}{2}}SE.MP=3a.SE;$
$S_{SMN}={\displaystyle \frac{1}{2}}SF.MN=4a.SF;S_{MNP}={\displaystyle \frac{1}{2}}MN.MP=24a^2$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{12a\sqrt{34}}{17}}.5a.SD={\displaystyle \frac{24a\sqrt{13}}{13}}.3a.SE={\displaystyle \frac{24a}{5}}.4a.SF=24a^{2}h$
$\Rightarrow SD={\displaystyle \frac{h\sqrt{34}}{5}};SE={\displaystyle \frac{h\sqrt{13}}{3}};SF={\displaystyle \frac{5h}{4}}$
Ta lại có: $HD=\sqrt{S{D}^2-S{H}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{34h^2}{25}}-h^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9h^2}{25}}}={\displaystyle \frac{3h}{5}}$
$HE=\sqrt{S{E}^2-S{H}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{13h^2}{9}}-h^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4h^2}{9}}}={\displaystyle \frac{2h}{3}}$
$HF=\sqrt{S{F}^2-S{H}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{25h^2}{16}}-h^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9h^2}{16}}}={\displaystyle \frac{3h}{4}}$
Mà $S_{MNP}=S_{HNP}+S_{HMP}+S_{HMN}={\displaystyle \frac{1}{2}}HD.NP+{\displaystyle \frac{1}{2}}HE.MP+{\displaystyle \frac{1}{2}}HF.MN$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{3h}{5}}.10a+{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{2h}{3}}.6a+{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{3h}{4}}.8a=24a^2\Rightarrow 8ah=24a^2\Rightarrow h=3a$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}h.S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.3a.{\displaystyle \frac{1}{2}}.3a.4a=6a^3$.