Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABC$ có $\widehat{BAC}={{90}^{0}}, AB=3a, AC=4a,$ hình chiếu của đỉnh $S$ là một điểm $H$ nằm trong $\Delta ABC.$ Biết khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau của hình chóp là $d\left(SA, BC \right)=\dfrac{6a\sqrt{34}}{17}, d\left(SB, CA \right)=\dfrac{12a}{5}, d\left(SC, AB \right)=\dfrac{12a\sqrt{13}}{13}.$ Tính thể tích khối chóp $S. ABC$.
A. $9{{a}^{3}}.$
B. $12{{a}^{3}}.$
C. $18{{a}^{3}}.$
D. $6{{a}^{3}}.$
$\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left(3a \right)}^{2}}+{{\left(4a \right)}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}}=5a$.
Vẽ $\Delta MNP$ sao cho $AB, BC, CA$ là các đường trung bình của $\Delta MNP\Rightarrow ACBN; ABCP$ là các hình bình hành; $ABMC$ là hình chữ nhật và $MP=6a; MN=8a; NP=10a$
Ta có: $BC//\left(SNP \right)\Rightarrow d\left(SA, BC \right)=d\left(BC,\left( SNP \right) \right)=d\left(B,\left( SNP \right) \right)$
Lại có:
$\dfrac{d\left(B,\left( SNP \right) \right)}{d\left(M,\left( SNP \right) \right)}=\dfrac{BN}{MN}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left(M,\left( SNP \right) \right)=2d\left(B,\left( SNP \right) \right)=2d\left(SA, BC \right)=\dfrac{12a\sqrt{34}}{17}$
Tương tự ta tính được:
$d\left(P,\left( SMN \right) \right)=2d\left(SB, CA \right)=\dfrac{24a}{5}$ và $d\left(N,\left( SMP \right) \right)=2d\left(SC, AB \right)=\dfrac{24a\sqrt{13}}{13}$
Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $NP, MP, MN$ và đặt $h=SH=d\left(S,\left( MNP \right) \right)$
Ta có: $SH\bot NP$ và $HD\bot NP\Rightarrow NP\bot \left(SHD \right)$
Chứng minh tương tự: $HE\bot \left(SMP \right); HF\bot \left(SMN \right)$
Do đó: $3{{V}_{SMNP}}=d\left(M,\left( SNP \right) \right).{{S}_{SNP}}=d\left(N,\left( SMP \right) \right).{{S}_{SMP}}$
$=d\left(P,\left( SMN \right) \right).{{S}_{SMN}}=d\left(S,\left( MNP \right) \right).{{S}_{MNP}}=h.{{S}_{MNP}}$
Mặt khác: ${{S}_{SNP}}=\dfrac{1}{2}SD. NP=5a. SD;{{S}_{SMP}}=\dfrac{1}{2}SE. MP=3a. SE;$
${{S}_{SMN}}=\dfrac{1}{2}SF. MN=4a. SF;{{S}_{MNP}}=\dfrac{1}{2}MN. MP=24{{a}^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{12a\sqrt{34}}{17}. 5a. SD=\dfrac{24a\sqrt{13}}{13}. 3a. SE=\dfrac{24a}{5}. 4a. SF=24{{a}^{2}}h$
$\Rightarrow SD=\dfrac{h\sqrt{34}}{5}; SE=\dfrac{h\sqrt{13}}{3}; SF=\dfrac{5h}{4}$
Ta lại có: $HD=\sqrt{S{{D}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{34{{h}^{2}}}{25}-{{h}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9{{h}^{2}}}{25}}=\dfrac{3h}{5}$
$HE=\sqrt{S{{E}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{13{{h}^{2}}}{9}-{{h}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{h}^{2}}}{9}}=\dfrac{2h}{3}$
$HF=\sqrt{S{{F}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{25{{h}^{2}}}{16}-{{h}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9{{h}^{2}}}{16}}=\dfrac{3h}{4}$
Mà ${{S}_{MNP}}={{S}_{HNP}}+{{S}_{HMP}}+{{S}_{HMN}}=\dfrac{1}{2}HD. NP+\dfrac{1}{2}HE. MP+\dfrac{1}{2}HF. MN$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{3h}{5}. 10a+\dfrac{1}{2}.\dfrac{2h}{3}. 6a+\dfrac{1}{2}.\dfrac{3h}{4}. 8a=24{{a}^{2}}\Rightarrow 8ah=24{{a}^{2}}\Rightarrow h=3a$
Vậy thể tích khối chóp $S. ABC$ là ${{V}_{S. ABC}}=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}. 3a.\dfrac{1}{2}. 3a. 4a=6{{a}^{3}}$.
A. $9{{a}^{3}}.$
B. $12{{a}^{3}}.$
C. $18{{a}^{3}}.$
D. $6{{a}^{3}}.$
$\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left(3a \right)}^{2}}+{{\left(4a \right)}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}}=5a$.
Vẽ $\Delta MNP$ sao cho $AB, BC, CA$ là các đường trung bình của $\Delta MNP\Rightarrow ACBN; ABCP$ là các hình bình hành; $ABMC$ là hình chữ nhật và $MP=6a; MN=8a; NP=10a$
Ta có: $BC//\left(SNP \right)\Rightarrow d\left(SA, BC \right)=d\left(BC,\left( SNP \right) \right)=d\left(B,\left( SNP \right) \right)$
Lại có:
$\dfrac{d\left(B,\left( SNP \right) \right)}{d\left(M,\left( SNP \right) \right)}=\dfrac{BN}{MN}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left(M,\left( SNP \right) \right)=2d\left(B,\left( SNP \right) \right)=2d\left(SA, BC \right)=\dfrac{12a\sqrt{34}}{17}$
Tương tự ta tính được:
$d\left(P,\left( SMN \right) \right)=2d\left(SB, CA \right)=\dfrac{24a}{5}$ và $d\left(N,\left( SMP \right) \right)=2d\left(SC, AB \right)=\dfrac{24a\sqrt{13}}{13}$
Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $NP, MP, MN$ và đặt $h=SH=d\left(S,\left( MNP \right) \right)$
Ta có: $SH\bot NP$ và $HD\bot NP\Rightarrow NP\bot \left(SHD \right)$
Chứng minh tương tự: $HE\bot \left(SMP \right); HF\bot \left(SMN \right)$
Do đó: $3{{V}_{SMNP}}=d\left(M,\left( SNP \right) \right).{{S}_{SNP}}=d\left(N,\left( SMP \right) \right).{{S}_{SMP}}$
$=d\left(P,\left( SMN \right) \right).{{S}_{SMN}}=d\left(S,\left( MNP \right) \right).{{S}_{MNP}}=h.{{S}_{MNP}}$
Mặt khác: ${{S}_{SNP}}=\dfrac{1}{2}SD. NP=5a. SD;{{S}_{SMP}}=\dfrac{1}{2}SE. MP=3a. SE;$
${{S}_{SMN}}=\dfrac{1}{2}SF. MN=4a. SF;{{S}_{MNP}}=\dfrac{1}{2}MN. MP=24{{a}^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{12a\sqrt{34}}{17}. 5a. SD=\dfrac{24a\sqrt{13}}{13}. 3a. SE=\dfrac{24a}{5}. 4a. SF=24{{a}^{2}}h$
$\Rightarrow SD=\dfrac{h\sqrt{34}}{5}; SE=\dfrac{h\sqrt{13}}{3}; SF=\dfrac{5h}{4}$
Ta lại có: $HD=\sqrt{S{{D}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{34{{h}^{2}}}{25}-{{h}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9{{h}^{2}}}{25}}=\dfrac{3h}{5}$
$HE=\sqrt{S{{E}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{13{{h}^{2}}}{9}-{{h}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{h}^{2}}}{9}}=\dfrac{2h}{3}$
$HF=\sqrt{S{{F}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{25{{h}^{2}}}{16}-{{h}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9{{h}^{2}}}{16}}=\dfrac{3h}{4}$
Mà ${{S}_{MNP}}={{S}_{HNP}}+{{S}_{HMP}}+{{S}_{HMN}}=\dfrac{1}{2}HD. NP+\dfrac{1}{2}HE. MP+\dfrac{1}{2}HF. MN$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{3h}{5}. 10a+\dfrac{1}{2}.\dfrac{2h}{3}. 6a+\dfrac{1}{2}.\dfrac{3h}{4}. 8a=24{{a}^{2}}\Rightarrow 8ah=24{{a}^{2}}\Rightarrow h=3a$
Vậy thể tích khối chóp $S. ABC$ là ${{V}_{S. ABC}}=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}. 3a.\dfrac{1}{2}. 3a. 4a=6{{a}^{3}}$.
Đáp án D.