Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}},SA=3,SB=4,SC=5.$ Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right).$
A. $5\sqrt{2}$
B. $\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$
+ Lấy hai điểm $M,N$ lần lượt trên $SB,SC$ sao cho $SA=SM=SN=3.$ Khi đó ta có $S.AMN$ là tứ diện đều cạnh 3. Do đó ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{\left( 3 \right)}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}.$
+ $\dfrac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.AMN}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SB}{SM}.\dfrac{SC}{SN}=1.\dfrac{4}{3}.\dfrac{5}{3}=\dfrac{20}{9}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{20}{9}.\dfrac{9\sqrt{2}}{4}=5\sqrt{2}.$
+ ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}.SA.SB.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3.4.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
+ Ta có ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{C.SAB}}=\dfrac{1}{3}.d\left( C,\left( SAB \right) \right).{{S}_{SAB}}\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3.{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{SAB}}}=\dfrac{3.5\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}.$
Chú ý: Thể tích tứ diện đều $V=\dfrac{{{\left( canh \right)}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
A. $5\sqrt{2}$
B. $\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$
+ Lấy hai điểm $M,N$ lần lượt trên $SB,SC$ sao cho $SA=SM=SN=3.$ Khi đó ta có $S.AMN$ là tứ diện đều cạnh 3. Do đó ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{\left( 3 \right)}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}.$
+ $\dfrac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.AMN}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SB}{SM}.\dfrac{SC}{SN}=1.\dfrac{4}{3}.\dfrac{5}{3}=\dfrac{20}{9}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{20}{9}.\dfrac{9\sqrt{2}}{4}=5\sqrt{2}.$
+ ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}.SA.SB.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}.3.4.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
+ Ta có ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{C.SAB}}=\dfrac{1}{3}.d\left( C,\left( SAB \right) \right).{{S}_{SAB}}\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3.{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{SAB}}}=\dfrac{3.5\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}.$
Chú ý: Thể tích tứ diện đều $V=\dfrac{{{\left( canh \right)}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Đáp án D.