Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với $\left( ABC \right)$. Biết $S\left( 1;2;3 \right),C\left( 3;0;1 \right),$ phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là
A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3.$
B. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9.$
C. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=3.$
D. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9.$
A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3.$
B. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9.$
C. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=3.$
D. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9.$
Ta thấy $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với $\left( ABC \right)$ suy ra $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SA\left( 1 \right) \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.. $ Mặt khác tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ nên $ CB\bot SB\left( 2 \right). $ Từ $ \left( 1 \right),\left( 2 \right) $ suy ra hai điểm $ A,B $ cùng nhìn đoạn $ SC $ dưới góc vuông nên hình chóp $ S.ABC $ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $ SC. $ Mặt cầu này có tâm $ I\left( 2;1;2 \right) $ và bán kính $ r=\dfrac{SC}{2}=\sqrt{3} $ nên phương trình là $ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3.$
& AC\bot SA\left( 1 \right) \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.. $ Mặt khác tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ nên $ CB\bot SB\left( 2 \right). $ Từ $ \left( 1 \right),\left( 2 \right) $ suy ra hai điểm $ A,B $ cùng nhìn đoạn $ SC $ dưới góc vuông nên hình chóp $ S.ABC $ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $ SC. $ Mặt cầu này có tâm $ I\left( 2;1;2 \right) $ và bán kính $ r=\dfrac{SC}{2}=\sqrt{3} $ nên phương trình là $ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3.$
Đáp án A.