Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại $B,AB=BC=1,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right),$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $60{}^\circ .$ Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $V=\dfrac{1}{6}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
D. $V=\dfrac{1}{3}$
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B. $V=\dfrac{1}{6}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
D. $V=\dfrac{1}{3}$
Gọi M là trung điểm của $AC\Rightarrow BM\bot AC$
Lại có: $SA\bot BM\Rightarrow BM\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BM\bot SC$
Dựng $ME\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( MEB \right)$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $MEB=60{}^\circ $
Lại có: $BM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2};ME\tan 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow ME=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$
Khi đó $d\left( A;SC \right)=2ME=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Mặt khác $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( A;SC \right)}\Rightarrow SA=1$
Thể tích khối chóp S.ABC là: $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.1.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$
Lại có: $SA\bot BM\Rightarrow BM\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BM\bot SC$
Dựng $ME\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( MEB \right)$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $MEB=60{}^\circ $
Lại có: $BM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2};ME\tan 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow ME=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$
Khi đó $d\left( A;SC \right)=2ME=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Mặt khác $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( A;SC \right)}\Rightarrow SA=1$
Thể tích khối chóp S.ABC là: $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.1.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$
Đáp án B.