Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, tam giác $SAB$ vuông tại $A$, tam giác $SAC$ cân tại $S$. Biết $AB=2a$, đường thẳng $SB$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ một góc $45{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. ${{a}^{3}}\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{2}$.
Ta có: $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{B}^{2}}=2A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\dfrac{AB\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AC\Rightarrow SH\bot AC$.
Chọn hệ trục tọa độ $Cxyz$ như hình vẽ.
Trong đó: $C\left( 0 ; 0 ; 0 \right)$, $A\left( 0 ; a\sqrt{2} ; 0 \right)$, $B\left( \text{a}\sqrt{2} ; 0 ; 0 \right)$, $H\left( 0 ; \dfrac{\text{a}\sqrt{2}}{2} ; 0 \right)$.
Gọi $S\left( \text{x} ; \text{y} ; \text{z} \right)$
$\overrightarrow{HS}=\left( x;y-\dfrac{a\sqrt{2}}{2};z \right)$, $\overrightarrow{CA}=\left( 0 ; a\sqrt{2} ; 0 \right)$. $\overrightarrow{HS}.\overrightarrow{CA}=0\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\overrightarrow{AS}=\left( x;-\dfrac{a\sqrt{2}}{2};z \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( a\sqrt{2};-a\sqrt{2};0 \right)$. $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow x=-\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\overrightarrow{SB}=\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{2};-\dfrac{a\sqrt{2}}{2};-z \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):z=0$.
Một vectơ pháp tuyến của $\left( ABC \right)$ : $\vec{n}=\left( 0 ; 0 ; 1 \right)$
Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}\Leftrightarrow \cos 45{}^\circ =\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{z}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{z}^{2}}}}\Leftrightarrow z=a\sqrt{5}$.
Chiều cao $h$ của khối chóp là khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$. Khi đó $h=a\sqrt{5}$.
Diên tích tam giác $ABC$ : $S=\dfrac{1}{2}.CA.CB={{a}^{2}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ : $V=\dfrac{1}{3}.S.h=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{5}=\dfrac{{{a}^{3}}.\sqrt{5}}{3}$.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{2}$.
Ta có: $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{B}^{2}}=2A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\dfrac{AB\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AC\Rightarrow SH\bot AC$.
Chọn hệ trục tọa độ $Cxyz$ như hình vẽ.
Trong đó: $C\left( 0 ; 0 ; 0 \right)$, $A\left( 0 ; a\sqrt{2} ; 0 \right)$, $B\left( \text{a}\sqrt{2} ; 0 ; 0 \right)$, $H\left( 0 ; \dfrac{\text{a}\sqrt{2}}{2} ; 0 \right)$.
Gọi $S\left( \text{x} ; \text{y} ; \text{z} \right)$
$\overrightarrow{HS}=\left( x;y-\dfrac{a\sqrt{2}}{2};z \right)$, $\overrightarrow{CA}=\left( 0 ; a\sqrt{2} ; 0 \right)$. $\overrightarrow{HS}.\overrightarrow{CA}=0\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\overrightarrow{AS}=\left( x;-\dfrac{a\sqrt{2}}{2};z \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( a\sqrt{2};-a\sqrt{2};0 \right)$. $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow x=-\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\overrightarrow{SB}=\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{2};-\dfrac{a\sqrt{2}}{2};-z \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):z=0$.
Một vectơ pháp tuyến của $\left( ABC \right)$ : $\vec{n}=\left( 0 ; 0 ; 1 \right)$
Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}\Leftrightarrow \cos 45{}^\circ =\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{z}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{z}^{2}}}}\Leftrightarrow z=a\sqrt{5}$.
Chiều cao $h$ của khối chóp là khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$. Khi đó $h=a\sqrt{5}$.
Diên tích tam giác $ABC$ : $S=\dfrac{1}{2}.CA.CB={{a}^{2}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ : $V=\dfrac{1}{3}.S.h=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{5}=\dfrac{{{a}^{3}}.\sqrt{5}}{3}$.
Đáp án B.