Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $SC=a\sqrt{2}$, tam giác SAB đều cạnh a và tam giác SAC vuông tại A. Mặt phẳng $\left( SBC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
C. $4\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
C. $4\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Từ giả thiết ta có $AC=\sqrt{S{{C}^{2}}-S{{A}^{2}}}=a=AB\Rightarrow $ ABC là tam giác cân tại A.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm SB, BC $\Rightarrow AF\bot BC\Rightarrow AF\bot \left( SBC \right)$
$SB\bot AE$, $SB\bot AF\Rightarrow SB\bot \left( AEF \right)$
$\Rightarrow SB\bot EF\Rightarrow SF=FB=FC\Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại S.
Ta có AF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì $BC=\sqrt{S{{C}^{2}}+S{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ nên bán kính mặt cầu là $R=OA=OB=a$.
Suy ra thế tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm SB, BC $\Rightarrow AF\bot BC\Rightarrow AF\bot \left( SBC \right)$
$SB\bot AE$, $SB\bot AF\Rightarrow SB\bot \left( AEF \right)$
$\Rightarrow SB\bot EF\Rightarrow SF=FB=FC\Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại S.
Ta có AF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì $BC=\sqrt{S{{C}^{2}}+S{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ nên bán kính mặt cầu là $R=OA=OB=a$.
Suy ra thế tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án A.