Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $SA=a\sqrt{2}$, biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2a$ (minh họa như hình vẽ).
Tính số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
A. ${{90}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{45}^{0}}$.
Tính số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
A. ${{90}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{45}^{0}}$.
Ta có $SB$ có hình chiếu vuông góc xuống $\left( ABC \right)$ là $AB$, do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SBA}$.
Do tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2a$ nên $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$ $\Rightarrow 2A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AB=a\sqrt{2}$.
Trong tam giác $SAB$ có $\tan \widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}$ $=1$, do đó $\widehat{SBA}={{45}^{0}}$.
Vậy số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}$.
Do tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2a$ nên $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$ $\Rightarrow 2A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AB=a\sqrt{2}$.
Trong tam giác $SAB$ có $\tan \widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}$ $=1$, do đó $\widehat{SBA}={{45}^{0}}$.
Vậy số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}$.
Đáp án D.