Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right),SA=a,$ tam giác $ABC$ vuông tại $B,AB=a\sqrt{2}$ và $BC=a$ (minh họa hình vẽ bên dưới). Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng:
A. ${{45}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{90}^{0}}$
D. ${{60}^{0}}$
A. ${{45}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{90}^{0}}$
D. ${{60}^{0}}$
Phương pháp:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Ta có $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABC \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA.$
Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét tam giác $SAC$ có $\tan \angle SCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \angle SCA={{30}^{0}}.$
Vậy $\angle \left( SC;\left( ABC \right) \right)={{30}^{0}}.$
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Ta có $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABC \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA.$
Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét tam giác $SAC$ có $\tan \angle SCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \angle SCA={{30}^{0}}.$
Vậy $\angle \left( SC;\left( ABC \right) \right)={{30}^{0}}.$
Đáp án B.