Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trung điểm của $AM.$ Biết $HB=HC,$ $\widehat{HBC}=30{}^\circ $ ; góc giữa mặt phẳng $\left( SHC \right)$ và mặt phẳng $\left( HBC \right)$ bằng $60{}^\circ .$ Tính cosin của góc giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $\left( SHC \right)$ ?
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
Dựng $AE\bot HC\Rightarrow CE\bot \left( SEA \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SHC \right);\left( HBC \right)} \right)=\left( \widehat{\left( SHC \right);\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SEA}=60{}^\circ .$
Dựng $AF\bot SE\Rightarrow d\left( A;\left( SCH \right) \right)=AF$
Do $HA=HM\Rightarrow d\left( A;\left( SHC \right) \right)=d\left( M;\left( SCH \right) \right)=AF.$
Gọi
$\varphi =\widehat{\left( BC;\left( SHC \right) \right)}=\widehat{\left( MC;\left( SHC \right) \right)}\Rightarrow \sin \varphi =\dfrac{d\left( M;\left( SHC \right) \right)}{MC}$
Do $HB=HC\Rightarrow \Delta HBC$ cân tại $H$ có đường trung tuyến HM đồng thời là đường cao nên $HM\bot CM$
Mặt khác $\widehat{HBC}=30{}^\circ \Rightarrow \widehat{HCM}=30{}^\circ $
Đặt $CH=2x\Rightarrow HM=HC\sin 30{}^\circ =x,MC=x\sqrt{3}\Rightarrow AH=x.$
Ta có: $\Delta HEA\backsim \Delta HMC\left( g-g \right)\Rightarrow \dfrac{AE}{CM}=\dfrac{AH}{CH}\Rightarrow AE=\dfrac{x}{2x}x\sqrt{3}\Rightarrow AE=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}.$
Do đó $\sin \varphi =\dfrac{AF}{2AE}=\dfrac{1}{2}\sin \widehat{SEA}=\dfrac{1}{2}\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{\sqrt{13}}{4}.$
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
Dựng $AE\bot HC\Rightarrow CE\bot \left( SEA \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SHC \right);\left( HBC \right)} \right)=\left( \widehat{\left( SHC \right);\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SEA}=60{}^\circ .$
Dựng $AF\bot SE\Rightarrow d\left( A;\left( SCH \right) \right)=AF$
Do $HA=HM\Rightarrow d\left( A;\left( SHC \right) \right)=d\left( M;\left( SCH \right) \right)=AF.$
Gọi
$\varphi =\widehat{\left( BC;\left( SHC \right) \right)}=\widehat{\left( MC;\left( SHC \right) \right)}\Rightarrow \sin \varphi =\dfrac{d\left( M;\left( SHC \right) \right)}{MC}$
Do $HB=HC\Rightarrow \Delta HBC$ cân tại $H$ có đường trung tuyến HM đồng thời là đường cao nên $HM\bot CM$
Mặt khác $\widehat{HBC}=30{}^\circ \Rightarrow \widehat{HCM}=30{}^\circ $
Đặt $CH=2x\Rightarrow HM=HC\sin 30{}^\circ =x,MC=x\sqrt{3}\Rightarrow AH=x.$
Ta có: $\Delta HEA\backsim \Delta HMC\left( g-g \right)\Rightarrow \dfrac{AE}{CM}=\dfrac{AH}{CH}\Rightarrow AE=\dfrac{x}{2x}x\sqrt{3}\Rightarrow AE=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}.$
Do đó $\sin \varphi =\dfrac{AF}{2AE}=\dfrac{1}{2}\sin \widehat{SEA}=\dfrac{1}{2}\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{\sqrt{13}}{4}.$
Đáp án C.