Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ ...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C

có

S A

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi

M

là trung điểm của

B C

và

H

là trung điểm của

A M .

Biết

H B = H C,

\hat{H B C} = 30^{\circ}

; góc giữa mặt phẳng

(S H C)

và mặt phẳng

(H B C)

bằng

60^{\circ} .

Tính cosin của góc giữa đường thẳng

B C

và mặt phẳng

(S H C)

?
A.

\frac{1}{2} .

B.

\frac{\sqrt{3}}{2} .

C.

\frac{\sqrt{13}}{4} .

D.

\frac{\sqrt{3}}{4} .

Dựng

A E ⊥ H C \Rightarrow C E ⊥ (S E A)

\Rightarrow (\hat{(S H C); (H B C)}) = (\hat{(S H C); (A B C)}) = \hat{S E A} = 60^{\circ} .

Dựng

A F ⊥ S E \Rightarrow d (A; (S C H)) = A F

Do

H A = H M \Rightarrow d (A; (S H C)) = d (M; (S C H)) = A F .

Gọi

φ = \hat{(B C; (S H C))} = \hat{(M C; (S H C))} \Rightarrow \sin φ = \frac{d (M; (S H C))}{M C}

Do

H B = H C \Rightarrow Δ H B C

cân tại

H

có đường trung tuyến HM đồng thời là đường cao nên

H M ⊥ C M

Mặt khác

\hat{H B C} = 30^{\circ} \Rightarrow \hat{H C M} = 30^{\circ}

Đặt

C H = 2 x \Rightarrow H M = H C \sin 30^{\circ} = x, M C = x \sqrt{3} \Rightarrow A H = x .

Ta có:

Δ H E A ∽ Δ H M C (g - g) \Rightarrow \frac{A E}{C M} = \frac{A H}{C H} \Rightarrow A E = \frac{x}{2 x} x \sqrt{3} \Rightarrow A E = \frac{x \sqrt{3}}{2} .

Do đó

\sin φ = \frac{A F}{2 A E} = \frac{1}{2} \sin \hat{S E A} = \frac{1}{2} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \cos φ = \frac{\sqrt{13}}{4} .

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M...