Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trung điểm của $AM.$ Biết $HB=HC,\widehat{HBC}={{30}^{0}};$ góc giữa mặt phẳng $\left( SHC \right)$ và mặt phẳng $\left( HBC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Tính cô-sin của góc giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $\left( SHC \right)$.
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
$HB=HC$ nên tam giác $HBC$ cân tại $H,$ suy ra $HM\bot BC$.
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ dựng $AK\bot HC\Rightarrow HC\bot \left( SAK \right).$
Mà góc giữa mặt phẳng $\left( SHC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$ nên $\widehat{SKA}={{60}^{0}}.$
Giả sử $BC=a.$
$\Rightarrow BM=\dfrac{a}{2}\Rightarrow AH=HM=BM.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
$\Rightarrow AK=AH.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a}{4}\Rightarrow SA=AK.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trang bị hệ trục tọa độ $Axyz$ với $A\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right),H\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6};0;0 \right),C\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{1}{2};0 \right),B\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{-1}{2};0 \right).$
$\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6};0;\dfrac{-\sqrt{3}}{4} \right),\overrightarrow{HC}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6};\dfrac{1}{2};0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;0 \right).$
Từ đó suy ra mặt phẳng $\left( SHC \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3\sqrt{3};-3;2\sqrt{3} \right)$ là véc-tơ pháp tuyến.
Ta có $\sin \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{BC} \right) \right|=\left| \dfrac{-3}{\sqrt{48}} \right|=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{13}}{4}.$
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
$HB=HC$ nên tam giác $HBC$ cân tại $H,$ suy ra $HM\bot BC$.
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ dựng $AK\bot HC\Rightarrow HC\bot \left( SAK \right).$
Mà góc giữa mặt phẳng $\left( SHC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$ nên $\widehat{SKA}={{60}^{0}}.$
Giả sử $BC=a.$
$\Rightarrow BM=\dfrac{a}{2}\Rightarrow AH=HM=BM.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
$\Rightarrow AK=AH.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a}{4}\Rightarrow SA=AK.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trang bị hệ trục tọa độ $Axyz$ với $A\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right),H\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6};0;0 \right),C\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{1}{2};0 \right),B\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{-1}{2};0 \right).$
$\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6};0;\dfrac{-\sqrt{3}}{4} \right),\overrightarrow{HC}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6};\dfrac{1}{2};0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;0 \right).$
Từ đó suy ra mặt phẳng $\left( SHC \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3\sqrt{3};-3;2\sqrt{3} \right)$ là véc-tơ pháp tuyến.
Ta có $\sin \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{BC} \right) \right|=\left| \dfrac{-3}{\sqrt{48}} \right|=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{13}}{4}.$
Đáp án C.