Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$...

$HB=HC$ nên tam giác $HBC$ cân tại $H,$ suy ra $HM\mathrm{\perp }BC$.
Trong mặt phẳng $\left(ABC\right)$ dựng $AK\mathrm{\perp }HC\Rightarrow HC\mathrm{\perp }\left(SAK\right).$
Mà góc giữa mặt phẳng $\left(SHC\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng ${60}^0$ nên $\widehat{SKA}={60}^0.$
Giả sử $BC=a.$
$\Rightarrow BM={\displaystyle \frac{a}{2}}\Rightarrow AH=HM=BM.\tan {30}^0={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}$
$\Rightarrow AK=AH.\sin {60}^0={\displaystyle \frac{a}{4}}\Rightarrow SA=AK.\tan {60}^0={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}.$
Trang bị hệ trục tọa độ $Axyz$ với $A(0;0;0),S(0;0;{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}),H({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}};0;0),C({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}};{\displaystyle \frac{1}{2}};0),B({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}};{\displaystyle \frac{-1}{2}};0).$
$\Rightarrow \overrightarrow{SH}=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}};0;{\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{4}}),\overrightarrow{HC}=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}};{\displaystyle \frac{1}{2}};0),\overrightarrow{BC}=(0;1;0).$
Từ đó suy ra mặt phẳng $\left(SHC\right)$ nhận $\overrightarrow{n}=(3\sqrt{3};-3;2\sqrt{3})$ là véc-tơ pháp tuyến.
Ta có $\sin (BC,\left(SHC\right))=|\cos (\overrightarrow{n},\overrightarrow{BC})|=\left|{\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{48}}}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\Rightarrow \cos (BC,\left(SHC\right))={\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{4}}.$