Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),
$SA=a,AB=a,AC=2a,\widehat{BAC}=60{}^\circ .$ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. $V=\dfrac{20\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
B. $V=\dfrac{5}{6}\pi {{a}^{3}}.$
C. $V=\dfrac{5\sqrt{5}\pi }{2}{{a}^{3}}.$
D. $V=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\pi {{a}^{3}}.$
$SA=a,AB=a,AC=2a,\widehat{BAC}=60{}^\circ .$ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. $V=\dfrac{20\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
B. $V=\dfrac{5}{6}\pi {{a}^{3}}.$
C. $V=\dfrac{5\sqrt{5}\pi }{2}{{a}^{3}}.$
D. $V=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\pi {{a}^{3}}.$
Áp dụng định lí Cosin trong ABC, có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos \widehat{BAC}=3{{a}^{2}}.$ $\Rightarrow BC=a\sqrt{3}\Rightarrow $ Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là ${{R}_{\Delta ABC}}=\dfrac{BC}{2.\sin \widehat{BAC}}=a.$
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là $R=\sqrt{R_{\Delta ABC}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{a_{{}}^{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Vậy thể tích mặt cầu cần tính là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4\pi }{3}.{{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\pi {{a}^{3}}.$
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là $R=\sqrt{R_{\Delta ABC}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{a_{{}}^{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Vậy thể tích mặt cầu cần tính là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4\pi }{3}.{{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\pi {{a}^{3}}.$
Đáp án D.