Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA=2BC$ và $\widehat{BAC}={{120}^{\text{o}}}$. Hình chiếu của $A$ trên các đoạn $SB,SC$ lần lượt là $M,N$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AMN \right)$.
A. ${{60}^{\text{o}}}$.
B. ${{15}^{\text{o}}}$.
C. ${{30}^{\text{o}}}$.
D. ${{45}^{\text{o}}}$.
Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ta có $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}={{90}^{\text{o}}}$.
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}
BD\bot AB \\
BD\bot SA \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAB \right) $ hay $ BD\bot AM $ và $ AM\bot SB $, từ đó ta có $ AM\bot \left( SBD \right)\Rightarrow AM\bot SD$.
Chứng minh tương tự ta có $AN\bot SD$. Từ đó suy ra $SD\bot \left( AMN \right)$, mà $SA\bot \left( ABC \right)$. Suy ra $\left( \left( ABC \right),\left( AMN \right) \right)=\left( SA,SD \right)=\widehat{DSA}$.
Ta có $BC=2R\sin A=AD.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=2BC=AD\sqrt{3}$. Vậy $\tan \widehat{ASD}=\dfrac{AD}{SA}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ASD}={{30}^{\text{o}}}$.
A. ${{60}^{\text{o}}}$.
B. ${{15}^{\text{o}}}$.
C. ${{30}^{\text{o}}}$.
D. ${{45}^{\text{o}}}$.
Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ta có $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}={{90}^{\text{o}}}$.
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}
BD\bot AB \\
BD\bot SA \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAB \right) $ hay $ BD\bot AM $ và $ AM\bot SB $, từ đó ta có $ AM\bot \left( SBD \right)\Rightarrow AM\bot SD$.
Chứng minh tương tự ta có $AN\bot SD$. Từ đó suy ra $SD\bot \left( AMN \right)$, mà $SA\bot \left( ABC \right)$. Suy ra $\left( \left( ABC \right),\left( AMN \right) \right)=\left( SA,SD \right)=\widehat{DSA}$.
Ta có $BC=2R\sin A=AD.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=2BC=AD\sqrt{3}$. Vậy $\tan \widehat{ASD}=\dfrac{AD}{SA}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ASD}={{30}^{\text{o}}}$.
Đáp án C.