Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ bằng ${{60}^{0}}$, $SB=a\sqrt{2};$ $\widehat{BSC}={{45}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}.$
+ Dựng $AH\bot SB$ $(H\in SB)\Rightarrow AH\bot (SBC)$
+ Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại $ B.$
+ Dựng $BI\bot AC$ $(I\in AC)\Rightarrow BI\bot SC$
Dựng $BK\bot SC$ $(K\in SC)\Rightarrow SC\bot (BIK)$. Suy ra: $\widehat{((SAC);(SBC))}=\widehat{BKI}={{60}^{0}}.$
+ Ta lại có: $\Delta SBC$ vuông cân tại $B$ $(\widehat{BSC}={{45}^{0}};BC\bot SB)\Rightarrow SB=BC=a\sqrt{2}.$
Suy ra: $BK=a$ ( $K$ là trung điểm của $SC)$
+ Do $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot SC \\
& BI\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot (SAC)\Rightarrow BI\bot IK $ nên $ \Delta BIK $ vuông tại $ I $ $ \Rightarrow BI=BK.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
+ $\Delta ABC$ tại $B$ $\Rightarrow \dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow AB=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$
+ ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{15}}{5};$ $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
$\Rightarrow V={{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}\Rightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{V}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}.$
+ Dựng $AH\bot SB$ $(H\in SB)\Rightarrow AH\bot (SBC)$
+ Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại $ B.$
+ Dựng $BI\bot AC$ $(I\in AC)\Rightarrow BI\bot SC$
Dựng $BK\bot SC$ $(K\in SC)\Rightarrow SC\bot (BIK)$. Suy ra: $\widehat{((SAC);(SBC))}=\widehat{BKI}={{60}^{0}}.$
+ Ta lại có: $\Delta SBC$ vuông cân tại $B$ $(\widehat{BSC}={{45}^{0}};BC\bot SB)\Rightarrow SB=BC=a\sqrt{2}.$
Suy ra: $BK=a$ ( $K$ là trung điểm của $SC)$
+ Do $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot SC \\
& BI\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot (SAC)\Rightarrow BI\bot IK $ nên $ \Delta BIK $ vuông tại $ I $ $ \Rightarrow BI=BK.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
+ $\Delta ABC$ tại $B$ $\Rightarrow \dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow AB=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.$
+ ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{15}}{5};$ $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
$\Rightarrow V={{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}\Rightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{V}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án D.