Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy $ABC.$ Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $SA=a\sqrt{2},SB=a\sqrt{5}.$ Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
A. ${{45}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{120}^{0}}$
D. ${{60}^{0}}$
Vì $SA\bot \left( ABC \right)$ nên góc $\widehat{\left( SC,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC,AC \right)}=\widehat{SCA}$ (vì $\widehat{SCA}<{{90}^{0}}$ ).
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có
$SA=a\sqrt{2},SB=a\sqrt{5}\Rightarrow AB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow BC=a\sqrt{3}.$
Do đó $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}.$
Tam giác $SAC$ có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{SCA}={{30}^{0}}.$
Vậy $\left( SC,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SCA}={{30}^{0}}.$
A. ${{45}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{120}^{0}}$
D. ${{60}^{0}}$
Vì $SA\bot \left( ABC \right)$ nên góc $\widehat{\left( SC,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC,AC \right)}=\widehat{SCA}$ (vì $\widehat{SCA}<{{90}^{0}}$ ).
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có
$SA=a\sqrt{2},SB=a\sqrt{5}\Rightarrow AB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow BC=a\sqrt{3}.$
Do đó $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}.$
Tam giác $SAC$ có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{SCA}={{30}^{0}}.$
Vậy $\left( SC,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SCA}={{30}^{0}}.$
Đáp án B.