Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau và...

Chọn hệ trục tọa độ $Sxyz;A\in Sz;B\in Sx;C\in Sy$. Ta có: $SA=SC=a,$ $SB=2a.$ Chọn $a=1$.
Khi đó: $S\left( 0;0;0 \right);A\left( 0;0;1 \right);B\left( 2;0;0 \right);C\left( 0;1;0 \right).$
Phương trình mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$.
Do mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& 2c+d=-1 \\
& 4a+d=-4 \\
& 2b+d=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-\dfrac{1}{2} \\
& c=-\dfrac{1}{2} \\
& d=0 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra phương trình mặt cầu $ (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-y-z=0$.
Do đó $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right).$ Ta có: $\overrightarrow{SB}=\left( 2;0;0 \right);\overrightarrow{SC}=\left( 0;1;0 \right);\overrightarrow{SO}=\left( 1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$.
VTPT của mặt phẳng $\left( SBC \right)\equiv \left( Sxy \right):\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;0;1 \right).$
VTPT của mặt phẳng $\left( SBO \right):\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{SB};\overrightarrow{SO} \right]=\left( 0;-1;1 \right).$
Ta có: $\text{cos}\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SBO \right) \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SBO \right) \right)}={{45}^{0}}$.