Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = 1. Tìm thể tích...

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC).
Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$
Vì $\Delta ABC$ cân tại B nên H thuộc đường trung trực BM của AC..
Đặt $AC=x.$
Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.BM.AC=\dfrac{1}{2}.x.\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{x\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{4}$ và $R=\dfrac{abc}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}.$
Chiều cao của khối chóp là: $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{B}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3-{{x}^{2}}}{4-{{x}^{2}}}}.$
Thể tích khối chóp là: $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{\dfrac{3-{{x}^{2}}}{4-{{x}^{2}}}}.\dfrac{x\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{4}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}\left( 3-{{x}^{2}} \right)}}{12}.$
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: $\sqrt{{{x}^{2}}\left( 3-{{x}^{2}} \right)}\le \sqrt{\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+3-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}{4}}=\dfrac{3}{2}.$
Do đó $V=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}\left( 3-{{x}^{2}} \right)}}{12}\le \dfrac{3}{2.12}=\dfrac{1}{8}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}^{2}}=3-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.$
Cách 2:
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của C lên (SAB) và SB.
Thể tích khối chóp: $V=\dfrac{1}{3}.CK.{{S}_{SAB}}\le \dfrac{1}{3}.CI.{{S}_{SAB}}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{8}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hình chiếu của C lên (SAB) trùng trung điểm SB.