Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=a$, $\widehat{ASB}=60{}^\circ $, $\widehat{BSC}=90{}^\circ $ và $\widehat{CSA}=120{}^\circ $. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng AC và SB.
A. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{22}}{22}$.
Ta thấy $\Delta ABC$ vuông tại B.
Khi đó gọi H là trung điểm AC, do $SA=SB=SC$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi E là hình chiếu vuông góc của B xuống AC.
Trên đường thẳng d qua B và song song với AC lấy điểm F sao cho $HF\text{ // }BE$ ta có $AC\bot \left( SHF \right)$.
Kẻ $HK\bot SF\Rightarrow d\left( SB,AC \right)=d\left( AC,\left( SBF \right) \right)=HK$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BE.AC=AB.BC\Rightarrow BE=\dfrac{a\sqrt{6}}{3} \\
& SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{AC}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $HK=\dfrac{HS.HF}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{F}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
A. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{22}}{22}$.
Ta thấy $\Delta ABC$ vuông tại B.
Khi đó gọi H là trung điểm AC, do $SA=SB=SC$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi E là hình chiếu vuông góc của B xuống AC.
Trên đường thẳng d qua B và song song với AC lấy điểm F sao cho $HF\text{ // }BE$ ta có $AC\bot \left( SHF \right)$.
Kẻ $HK\bot SF\Rightarrow d\left( SB,AC \right)=d\left( AC,\left( SBF \right) \right)=HK$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BE.AC=AB.BC\Rightarrow BE=\dfrac{a\sqrt{6}}{3} \\
& SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{AC}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $HK=\dfrac{HS.HF}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{F}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
Đáp án C.