Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có ${SA=SB=SC=4}$, đáy là tam giác vuông tại ${A}$.Một hình nón ${\left( N \right)}$ có đỉnh ${S}$ và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ${ABC}$.Thể tích lớn nhất của khối nón ${\left( N \right)}$ bằng bao nhiêu?
A. ${\dfrac{32\sqrt{3}\pi }{27}}$.
B. ${\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{27}}$.
C. ${\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{27}}$.
D. ${\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{9}}$.
Tam giác ABC vuông tại A nên trung điểm H củaBC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Do $SA=SB=SC$ nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, vậy $SH\bot \left( ABC \right)$ hay SH là đường cao của hình nón và BH là bán kính đáy của hình nón.
Đặt $BH=r\Rightarrow SH=\sqrt{16{{r}^{2}}}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{16-{{r}^{2}}}=\dfrac{2}{3}r\sqrt{\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( 16{{r}^{2}} \right)}.$
$\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( 16-{{r}^{2}} \right)\le \left( \dfrac{\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+16-{{r}^{2}}}{3} \right)=\dfrac{{{16}^{3}}}{27}\Rightarrow V\le \dfrac{2}{3}\pi \sqrt{\dfrac{{{16}^{3}}}{27}}=\dfrac{128\sqrt{3\pi }}{27}$
Dầu đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}=16-{{r}^{2}}\Leftrightarrow r=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
Vậy thể tích lớn nhất của khối nón (N) là $\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{27}$
A. ${\dfrac{32\sqrt{3}\pi }{27}}$.
B. ${\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{27}}$.
C. ${\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{27}}$.
D. ${\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{9}}$.
Tam giác ABC vuông tại A nên trung điểm H củaBC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Do $SA=SB=SC$ nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, vậy $SH\bot \left( ABC \right)$ hay SH là đường cao của hình nón và BH là bán kính đáy của hình nón.
Đặt $BH=r\Rightarrow SH=\sqrt{16{{r}^{2}}}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{16-{{r}^{2}}}=\dfrac{2}{3}r\sqrt{\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( 16{{r}^{2}} \right)}.$
$\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{2}{{r}^{2}} \right)\left( 16-{{r}^{2}} \right)\le \left( \dfrac{\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+16-{{r}^{2}}}{3} \right)=\dfrac{{{16}^{3}}}{27}\Rightarrow V\le \dfrac{2}{3}\pi \sqrt{\dfrac{{{16}^{3}}}{27}}=\dfrac{128\sqrt{3\pi }}{27}$
Dầu đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}=16-{{r}^{2}}\Leftrightarrow r=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
Vậy thể tích lớn nhất của khối nón (N) là $\dfrac{128\sqrt{3}\pi }{27}$
Đáp án B.