Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Đáy $ABC$ có $BC=a$ và $\widehat{BAC}=150{}^\circ $. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và $\left( ABC \right)$ là
A. ${{60}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{30}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Gọi điểm $D\in \left( ABC \right)$ sao cho $DB\bot AB;DC\bot AC$
Ta chứng minh được $BD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow AM\bot (SBD)\Rightarrow SD\bot AM$
Tương tự: $SD\bot AN$
Vậy $SD\bot \left( AMN \right)$ ; mà $SA\bot \left( ABC \right)$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa $SA$ và $SD$.
Xét tứ giác $ABDC$ là tứ giác nội tiếp và có $AD=2R=\dfrac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2a$.
Xét tam giác vuông $SAD$, có $\tan \widehat{ASD}=\dfrac{AD}{SA}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{ASD}=60{}^\circ $.
A. ${{60}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{30}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Ta chứng minh được $BD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow AM\bot (SBD)\Rightarrow SD\bot AM$
Tương tự: $SD\bot AN$
Vậy $SD\bot \left( AMN \right)$ ; mà $SA\bot \left( ABC \right)$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa $SA$ và $SD$.
Xét tứ giác $ABDC$ là tứ giác nội tiếp và có $AD=2R=\dfrac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2a$.
Xét tam giác vuông $SAD$, có $\tan \widehat{ASD}=\dfrac{AD}{SA}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{ASD}=60{}^\circ $.
Đáp án A.