Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $SA\bot \left( ABC \right)$, tam giác ABC có độ dài ba cạnh là $AB=3a;BC=5a;AC=4a$, góc giữa SB và (ABC) là 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A. $8{{a}^{3}}.$
B. $12{{a}^{3}}.$
C. $6{{a}^{3}}.$
D. $18{{a}^{3}}.$
A. $8{{a}^{3}}.$
B. $12{{a}^{3}}.$
C. $6{{a}^{3}}.$
D. $18{{a}^{3}}.$
Ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}=25{{a}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.
Ta có $\widehat{\left( SB,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SA,SB \right)}=\widehat{SBA}={{45}^{o}}.$ Ta có $\tan \widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB\tan \widehat{SBA}=3a$
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=6{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.3a.6{{a}^{2}}=6{{a}^{3}}.$
Ta có $\widehat{\left( SB,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SA,SB \right)}=\widehat{SBA}={{45}^{o}}.$ Ta có $\tan \widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB\tan \widehat{SBA}=3a$
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=6{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.3a.6{{a}^{2}}=6{{a}^{3}}.$
Đáp án C.