Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, đáy là tam giác vuông tại $B, SA=a, AB=a\sqrt{2}$, góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $60{}^\circ $. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{2}{12}{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
Ta có: $SB=\sqrt{A{{S}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ và tam giác $SBC$ vuông tại $B$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $B, H$ lên $AC, SC$. Ta được: $BH\bot \left( SAC \right), \widehat{BKH}=60{}^\circ $.
Đặt $BC=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B{{H}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}} \\
& B{{K}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$.
${{\sin }^{2}}60{}^\circ =\dfrac{B{{H}^{2}}}{B{{K}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{9{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}=\dfrac{8{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{6}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.a\sqrt{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{2}{12}{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $B, H$ lên $AC, SC$. Ta được: $BH\bot \left( SAC \right), \widehat{BKH}=60{}^\circ $.
Đặt $BC=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B{{H}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}} \\
& B{{K}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$.
${{\sin }^{2}}60{}^\circ =\dfrac{B{{H}^{2}}}{B{{K}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{9{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}=\dfrac{8{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{6}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.a\sqrt{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.