Cho hình chóp $S.ABC,$ có $SA\bot \left( ABC \right);AB=6,BC=7,CA=8.$ Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Thể tích...

Kẻ $AI\bot BC\left( I\in BC \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& SA\bot BC \\
& AI\cap SA=\left\{ A \right\} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAI \right).$
Và $\left( SBC \right)\cap \left( SAI \right)=SI.$
Suy ra $SI$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên $\left( SBC \right)$
Suy ra $\widehat{\left( SA,\left( SBC \right) \right)}=\widehat{\left( SA,SI \right)}=\widehat{ASI}={{60}^{0}}.$
Tính được: ${{S}_{ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=\dfrac{21\sqrt{15}}{4}.$
Mặt khác ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AI.BC\Rightarrow AI=\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\dfrac{2.\dfrac{21\sqrt{15}}{4}}{7}=\dfrac{3\sqrt{15}}{2}.$
Tam giác $SAI$ vuông tại $A,$ ta có:
$SA=\dfrac{AI}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{3\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}.$
Khi đó: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{21\sqrt{15}}{4}.\dfrac{3\sqrt{5}}{2}=\dfrac{105\sqrt{3}}{8}.$