Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$, tam giác $ABC$ đều, tam giác $SAB$ vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}$
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$
Tam giác SAB vuông cân tại S và $SA=a$ nên $AB=a\sqrt{2}$
Gọi M là trung điểm AB, ta có $SM\bot AB$ và $SM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (SM là đường trung tuyến của tam giác SAB vuông cân tại S).
Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right),SM\bot AB$ và $\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB$ nên $SM\bot \left( ABC \right)$
Suy ra SM là đường cao của hình chóp $S.ABC$ ứng với đáy là tam giác ABC.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
A. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}$
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$
Tam giác SAB vuông cân tại S và $SA=a$ nên $AB=a\sqrt{2}$
Gọi M là trung điểm AB, ta có $SM\bot AB$ và $SM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (SM là đường trung tuyến của tam giác SAB vuông cân tại S).
Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right),SM\bot AB$ và $\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB$ nên $SM\bot \left( ABC \right)$
Suy ra SM là đường cao của hình chóp $S.ABC$ ứng với đáy là tam giác ABC.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
Đáp án A.