Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a,SA\bot \left( ABC \right)$, tam...

Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $MN$ và $BC$
$\Rightarrow I$ là trung điểm của $SK$
Ta có $\left( AMN \right)\cap \left( ABC \right)=Ax\parallel MN\parallel BC$
$\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AK\bot BC\Rightarrow AK\bot Ax$
$\Delta AMN$ cân tại $A\Rightarrow AI\bot MN\Rightarrow AI\bot Ax$
Do đó $\left( \left( AMN \right),\left( ABC \right) \right)=\left( AI,AK \right)=\widehat{IAK}$ hoặc bù với góc $\widehat{IAK}$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AK$ là đường trung tuyến nên $AK=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta SAK$ vuông tại $A$ có $AI$ là đường trung tuyến nên
$AI=IK=\dfrac{SK}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
Xét $\Delta AIK$ có $\cos IAK=\dfrac{I{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}-I{{K}^{2}}}{2IA.AK}=\dfrac{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{4} \right)}^{2}}}{2.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$