Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $SA=a$, $AB=a\sqrt{3}$, $\widehat{BAC}=150{}^\circ $ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCMN bằng.
A. $\dfrac{4\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{44\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{28\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{20\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Dựng đường tròn tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Kẻ đường kính AQ
Xét tam giác ACB:
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos \widehat{BAC}$
$=3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2.{{a}^{2}}.\sqrt{3}.\cos 150{}^\circ =7{{a}^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{7}$
${{R}_{\Delta ABC}}=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2.\sin 150{}^\circ }=a\sqrt{7}\Rightarrow AO=a\sqrt{7}$
Vì AQ là đường kính đường tròn tâm O, điểm B thuộc đường tròn này nên $QB\bot AB$
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& QB\bot AB \\
& QB\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow QB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow QB\bot AM$
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& AM\bot QB \\
& AM\bot SB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AM\bot \left( SQB \right)\Rightarrow AM\bot QM\Rightarrow \Delta AMQ$vuông tại M.
Chứng minh tương tự ta được: $\Delta ANQ$ vuông tại N.
Ta có các tam giác: $\Delta ABQ$, $\Delta AMQ$, $\Delta ANQ$, $\Delta ACQ$ là các tam giác vuông lần lượt ở B, M, N, C
Do đó các điểm A, B, C, N, M thuộc mặt cầu đường kính AQ
$\Rightarrow $ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCMN là $AO=a\sqrt{7}$
$\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( a\sqrt{7} \right)}^{3}}=\dfrac{28\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{4\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{44\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{28\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{20\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Dựng đường tròn tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Kẻ đường kính AQ
Xét tam giác ACB:
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos \widehat{BAC}$
$=3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2.{{a}^{2}}.\sqrt{3}.\cos 150{}^\circ =7{{a}^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{7}$
${{R}_{\Delta ABC}}=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2.\sin 150{}^\circ }=a\sqrt{7}\Rightarrow AO=a\sqrt{7}$
Vì AQ là đường kính đường tròn tâm O, điểm B thuộc đường tròn này nên $QB\bot AB$
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& QB\bot AB \\
& QB\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow QB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow QB\bot AM$
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& AM\bot QB \\
& AM\bot SB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AM\bot \left( SQB \right)\Rightarrow AM\bot QM\Rightarrow \Delta AMQ$vuông tại M.
Chứng minh tương tự ta được: $\Delta ANQ$ vuông tại N.
Ta có các tam giác: $\Delta ABQ$, $\Delta AMQ$, $\Delta ANQ$, $\Delta ACQ$ là các tam giác vuông lần lượt ở B, M, N, C
Do đó các điểm A, B, C, N, M thuộc mặt cầu đường kính AQ
$\Rightarrow $ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCMN là $AO=a\sqrt{7}$
$\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( a\sqrt{7} \right)}^{3}}=\dfrac{28\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$
Đáp án C.