Cho hình chóp S.ABC có $SA=a$, $AB=a\sqrt{3}$...

Dựng đường tròn tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Kẻ đường kính AQ
Xét tam giác ACB:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos \widehat{BAC}$
$=3a^2+a^2-2.a^2.\sqrt{3}.\cos 150{}^{\circ }=7a^2\Rightarrow BC=a\sqrt{7}$
$R_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{BC}{2\sin A}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{7}}{2.\sin 150{}^{\circ }}}=a\sqrt{7}\Rightarrow AO=a\sqrt{7}$
Vì AQ là đường kính đường tròn tâm O, điểm B thuộc đường tròn này nên $QB\mathrm{\perp }AB$
Ta có: $\begin{array}{rl}& QB\mathrm{\perp }AB\\ & QB\mathrm{\perp }SA\end{array}\}\Rightarrow QB\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow QB\mathrm{\perp }AM$
Ta có: $\begin{array}{rl}& AM\mathrm{\perp }QB\\ & AM\mathrm{\perp }SB\end{array}\}\Rightarrow AM\mathrm{\perp }\left(SQB\right)\Rightarrow AM\mathrm{\perp }QM\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMQ$vuông tại M.
Chứng minh tương tự ta được: $\mathrm{\Delta }ANQ$ vuông tại N.
Ta có các tam giác: $\mathrm{\Delta }ABQ$, $\mathrm{\Delta }AMQ$, $\mathrm{\Delta }ANQ$, $\mathrm{\Delta }ACQ$ là các tam giác vuông lần lượt ở B, M, N, C
Do đó các điểm A, B, C, N, M thuộc mặt cầu đường kính AQ
$\Rightarrow$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCMN là $AO=a\sqrt{7}$
$\Rightarrow V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi {\left(a\sqrt{7}\right)}^3={\displaystyle \frac{28\sqrt{7}\pi a^3}{3}}$