Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $SA=6,SB=2,SC=4,AB=2\sqrt{10}$ và $\widehat{SBC}=90{}^\circ $, $\widehat{ASC}=120{}^\circ $. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (SAC) và cắt SA tại M. Tính $k=\dfrac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}.$
A. $\dfrac{2}{9}.$
B. $\dfrac{2}{5}.$
C. $\dfrac{1}{6}.$
D. $\dfrac{1}{4}.$
A. $\dfrac{2}{9}.$
B. $\dfrac{2}{5}.$
C. $\dfrac{1}{6}.$
D. $\dfrac{1}{4}.$
Gọi $D\in SA$ sao cho $SD=2$
Dễ thấy trong tam giác vuông BNS có
$SB=SN=SC=BN=2$, do đó $\widehat{BSC}=90{}^\circ $ (cạnh đối diện góc $30{}^\circ $ trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền).
Suy ra $\widehat{BSC}=60{}^\circ .$
Xét tam giác SAB ta có:
${{2}^{2}}+{{6}^{2}}={{\left( 2\sqrt{10} \right)}^{2}}\Rightarrow S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}.$
Vậy $\Delta SAB$ vuông tại S.
Áp dụng định lí cosin cho các tam giác SBN, SDN, SBD ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& B{{N}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{N}^{2}}-SB.SN=S{{N}^{2}} \\
& D{{N}^{2}}=S{{D}^{2}}+S{{N}^{2}}+SD.SN=3S{{N}^{2}} \\
& B{{D}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta BDN$vuông tại B
Gọi I là trung điểm của DN, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& SB=SN=SD \\
& IB=IN=ID \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SI\bot \left( BDN \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( BDN \right)\Rightarrow M\equiv D.$
Do đó $k=\dfrac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}.$
Dễ thấy trong tam giác vuông BNS có
$SB=SN=SC=BN=2$, do đó $\widehat{BSC}=90{}^\circ $ (cạnh đối diện góc $30{}^\circ $ trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền).
Suy ra $\widehat{BSC}=60{}^\circ .$
Xét tam giác SAB ta có:
${{2}^{2}}+{{6}^{2}}={{\left( 2\sqrt{10} \right)}^{2}}\Rightarrow S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}.$
Vậy $\Delta SAB$ vuông tại S.
Áp dụng định lí cosin cho các tam giác SBN, SDN, SBD ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& B{{N}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{N}^{2}}-SB.SN=S{{N}^{2}} \\
& D{{N}^{2}}=S{{D}^{2}}+S{{N}^{2}}+SD.SN=3S{{N}^{2}} \\
& B{{D}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta BDN$vuông tại B
Gọi I là trung điểm của DN, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& SB=SN=SD \\
& IB=IN=ID \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SI\bot \left( BDN \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( BDN \right)\Rightarrow M\equiv D.$
Do đó $k=\dfrac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}.$
Đáp án C.