Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=12cm,AB=5cm,AC=9cm,SB=13cm,SC=15cm$ và $BC=10cm.$ Tan của góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC...

Phương pháp:
- Chứng minh $\Delta SAB,\Delta SAC$ vuông tại $A.$ Suy ra $SA\bot \left( ABC \right)$.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuônggóc với giao tuyến.
- Tính ${{S}_{\Delta ABC}}$ nhờ công thức Hê-rong, từ đó tính $AH=\dfrac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}.$
- Tính tan của góc trong tam giác vuông.
Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago đảo ta chứng minh được $\Delta SAB,\Delta SAC$ vuông tại $A.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA\bot AB \\
& SA\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right).$
Trong $\left( ABC \right)$ dựng $AH\bot BC$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BC\bot SH$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SH\subset \left( SBC \right),SH\bot BC \\
& AH\subset \left( ABC \right),AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SH;AH \right)=\angle SHA.$
Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-BC \right)\left( p-AC \right)}=6\sqrt{14}$ với $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC,p=12.$
$\Rightarrow AH=\dfrac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}=\dfrac{2.6\sqrt{14}}{10}=\dfrac{6\sqrt{14}}{5}$
$SH=\dfrac{2{{S}_{\Delta SBC}}}{BC}=\dfrac{2.6\sqrt{114}}{10}=\dfrac{6\sqrt{114}}{5}.$
Xét tam giác vuông $SAH$ ta có $\tan \angle SHA=\dfrac{SA}{AH}=\dfrac{12}{\dfrac{6\sqrt{14}}{5}}=\dfrac{10\sqrt{14}}{14}.$
Vậy $\tan \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\dfrac{10\sqrt{14}}{14}.$