Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $SA=1,SB=2,SC=3$. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất ${{T}_{\min }}$ của biểu thức $T=\dfrac{1}{S{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{P}^{2}}}.$
A. ${{T}_{\min }}=\dfrac{2}{7}.$
B. ${{T}_{\min }}=\dfrac{3}{7}.$
C. ${{T}_{\min }}=\dfrac{18}{7}.$
D. ${{T}_{\min }}=6.$
Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow \overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{SG}{SI}.\overrightarrow{SI}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{SA}{SM}\overrightarrow{SM}+\dfrac{SB}{SN}\overrightarrow{SN}+\dfrac{SC}{SP}\overrightarrow{SP} \right)$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{SI}=\dfrac{1}{6}\left( \dfrac{SA}{SM}\overrightarrow{SM}+\dfrac{SB}{SN}\overrightarrow{SN}+\dfrac{SC}{SP}\overrightarrow{SP} \right).$
Do I, M, N, P đồng phẳng nên
$\dfrac{1}{6}\left( \dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP} \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP}=6.$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có
$\left( \dfrac{1}{S{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{P}^{2}}} \right)\left( S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}} \right)\ge {{\left( \dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP} \right)}^{2}}$
Suy ra $T\ge \dfrac{36}{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}}=\dfrac{18}{7}.$
Cách khác: Do đúng với mọi hình chóp nên giả sử các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau: $S\equiv O\left( 0;0;0 \right),A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right)$ và $C\left( 0;0;3 \right).$
Suy ra $G\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};1 \right)\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right).$
Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại
$M\left( a;0;0 \right),N\left( 0;b;0 \right),P\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ và $T=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}.$
Vì $I\left( \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right)\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{c}=1.$
Ta có ${{1}^{2}}={{\left( \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{c} \right)}^{2}}\le \left( \dfrac{1}{{{6}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}} \right).\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)\Rightarrow T\ge \dfrac{18}{7}.$
A. ${{T}_{\min }}=\dfrac{2}{7}.$
B. ${{T}_{\min }}=\dfrac{3}{7}.$
C. ${{T}_{\min }}=\dfrac{18}{7}.$
D. ${{T}_{\min }}=6.$
Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow \overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{SG}{SI}.\overrightarrow{SI}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{SA}{SM}\overrightarrow{SM}+\dfrac{SB}{SN}\overrightarrow{SN}+\dfrac{SC}{SP}\overrightarrow{SP} \right)$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{SI}=\dfrac{1}{6}\left( \dfrac{SA}{SM}\overrightarrow{SM}+\dfrac{SB}{SN}\overrightarrow{SN}+\dfrac{SC}{SP}\overrightarrow{SP} \right).$
Do I, M, N, P đồng phẳng nên
$\dfrac{1}{6}\left( \dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP} \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP}=6.$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có
$\left( \dfrac{1}{S{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{P}^{2}}} \right)\left( S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}} \right)\ge {{\left( \dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP} \right)}^{2}}$
Suy ra $T\ge \dfrac{36}{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}}=\dfrac{18}{7}.$
Cách khác: Do đúng với mọi hình chóp nên giả sử các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau: $S\equiv O\left( 0;0;0 \right),A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right)$ và $C\left( 0;0;3 \right).$
Suy ra $G\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};1 \right)\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right).$
Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại
$M\left( a;0;0 \right),N\left( 0;b;0 \right),P\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ và $T=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}.$
Vì $I\left( \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right)\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{c}=1.$
Ta có ${{1}^{2}}={{\left( \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{c} \right)}^{2}}\le \left( \dfrac{1}{{{6}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}} \right).\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)\Rightarrow T\ge \dfrac{18}{7}.$
Đáp án C.