Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có mặt phẳng ${(SAC)}$ vuông góc với mặt phẳng ${(ABC)}$, ${SAB}$ là tam giác đều cạnh ${a \sqrt{3}}$, ${BC=a \sqrt{3}}$, đường thẳng ${SC}$ tạo với mặt phẳng ${(ABC)}$ góc ${60^\circ}$. Thể tích của khối chóp ${S.ABC}$ bằng
A. ${\dfrac{a^3 \sqrt{6}}{2}}$.
B. ${\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}}$.
C. ${2 a^3 \sqrt{6}}$.
D. ${\dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}}$.
Gọi ${O}$ là trung điểm của ${AC}$, vì ${BA=BC}$ nên ${BO\perp AC}$.
Mà ${(SAC)\perp (SAB)}$ nên ${BO\perp (SAC)}$.
Khi đó, các tam giác vuông ${BOA}$, ${BOC}$, ${BOS}$ bằng nhau nên ${OA=OC=OS}$.
Suy ra tam giác ${SAC}$ vuông tại ${S}$.
Vì ${(SAC)}$ vuông góc với ${(ABC)}$ và góc giữa ${SC}$ và mặt phẳng ${(ABC)}$ bằng ${60^\circ}$ nên góc ${\widehat{SCA}=60^\circ}$.
Như vậy ${OS=OA=OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{SA}{2\sin\widehat{SCA}}=a}$.
Suy ra ${BO=\sqrt{SB^2-OS^2}=a\sqrt{2}}$.
Diện tích ${\triangle SAC}$ tính bằng công thức
${S=\dfrac{1}{2}\cdot SA\cdot AC\sin\widehat{SAC}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}a\cdot 2a\cdot\sin 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2.}$
Như vậy ${V=\dfrac{1}{3}\cdot BO\cdot S_{\triangle SAC}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a^3}$.
A. ${\dfrac{a^3 \sqrt{6}}{2}}$.
B. ${\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}}$.
C. ${2 a^3 \sqrt{6}}$.
D. ${\dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}}$.
Mà ${(SAC)\perp (SAB)}$ nên ${BO\perp (SAC)}$.
Khi đó, các tam giác vuông ${BOA}$, ${BOC}$, ${BOS}$ bằng nhau nên ${OA=OC=OS}$.
Suy ra tam giác ${SAC}$ vuông tại ${S}$.
Vì ${(SAC)}$ vuông góc với ${(ABC)}$ và góc giữa ${SC}$ và mặt phẳng ${(ABC)}$ bằng ${60^\circ}$ nên góc ${\widehat{SCA}=60^\circ}$.
Như vậy ${OS=OA=OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{SA}{2\sin\widehat{SCA}}=a}$.
Suy ra ${BO=\sqrt{SB^2-OS^2}=a\sqrt{2}}$.
Diện tích ${\triangle SAC}$ tính bằng công thức
${S=\dfrac{1}{2}\cdot SA\cdot AC\sin\widehat{SAC}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}a\cdot 2a\cdot\sin 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2.}$
Như vậy ${V=\dfrac{1}{3}\cdot BO\cdot S_{\triangle SAC}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a^3}$.
Đáp án D.