Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt phẳng $\left( SAC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $SAB$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$, $BC=a\sqrt{3}$ đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ góc $60{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Ta thấy tam giác $ABC$ cân tại $B$, gọi $H$ là trung điểm của $AB$ suy ra $BH\bot AC.$
Do $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $BH\bot \left( SAC \right)$.
Ta lại có $BA=BC=BS$ nên $B$ thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ $\Rightarrow $ $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAC$ $\Rightarrow $ $SA\bot SC$.
Do $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow $ $\widehat{SCA}={{60}^{0}}$.
Ta có $SC=SA.\cot {{60}^{0}}=a$, $AC=\dfrac{SA}{\sin {{60}^{0}}}=2a$ $\Rightarrow HC=a$ $\Rightarrow BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
${{V}_{S.ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}BH.{{S}_{SAC}}$ $=\dfrac{1}{6}BH.SA.SC$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Ta thấy tam giác $ABC$ cân tại $B$, gọi $H$ là trung điểm của $AB$ suy ra $BH\bot AC.$
Do $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $BH\bot \left( SAC \right)$.
Ta lại có $BA=BC=BS$ nên $B$ thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ $\Rightarrow $ $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAC$ $\Rightarrow $ $SA\bot SC$.
Do $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow $ $\widehat{SCA}={{60}^{0}}$.
Ta có $SC=SA.\cot {{60}^{0}}=a$, $AC=\dfrac{SA}{\sin {{60}^{0}}}=2a$ $\Rightarrow HC=a$ $\Rightarrow BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
${{V}_{S.ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}BH.{{S}_{SAC}}$ $=\dfrac{1}{6}BH.SA.SC$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Đáp án C.