Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt phẳng $\left( SAC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $\left( SAB \right)$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$, $BC=a\sqrt{3}$, đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ góc $60{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
Ta có $\widehat{SC;\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}$
Gọi $H$ là trung điểm $AC$
Mà $\Delta ABC$ cân $\Rightarrow BH\bot \left( SAC \right)$
Gọi $K$ là trung điểm $SA$
Mà $\Delta SAB$ đều $\Rightarrow BK\bot SA$
Suy ra $SA\bot \left( BHK \right)\Rightarrow SA\bot HK$
Mà $HK\text{//}SC\Rightarrow SA\bot SC$
Tam giác $SAC$ vuông tại $S$, có $\widehat{SCA}=60{}^\circ $
$\Rightarrow SC=SH=\dfrac{AC}{2}=a$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$, có $BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{2}a$
Vậy thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}BH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Diện tích tam giác $S=\dfrac{1}{2}ah$, trong đó $a$ là chiều dài cạnh đáy tam giác, $h$ là chiều cao.
Định lý Pytago: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$, $a$ là cạnh huyền, $b,c$ là hai cạnh góc vuông.
Thể tích khối chóp: $V=\dfrac{1}{3}Sh$, $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao hình chóp.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
Ta có $\widehat{SC;\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}$
Gọi $H$ là trung điểm $AC$
Mà $\Delta ABC$ cân $\Rightarrow BH\bot \left( SAC \right)$
Gọi $K$ là trung điểm $SA$
Mà $\Delta SAB$ đều $\Rightarrow BK\bot SA$
Suy ra $SA\bot \left( BHK \right)\Rightarrow SA\bot HK$
Mà $HK\text{//}SC\Rightarrow SA\bot SC$
Tam giác $SAC$ vuông tại $S$, có $\widehat{SCA}=60{}^\circ $
$\Rightarrow SC=SH=\dfrac{AC}{2}=a$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$, có $BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{2}a$
Vậy thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}BH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
Note 26: Phương pháp chung
Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Diện tích tam giác $S=\dfrac{1}{2}ah$, trong đó $a$ là chiều dài cạnh đáy tam giác, $h$ là chiều cao.
Định lý Pytago: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$, $a$ là cạnh huyền, $b,c$ là hai cạnh góc vuông.
Thể tích khối chóp: $V=\dfrac{1}{3}Sh$, $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao hình chóp.
Đáp án D.