Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $M$, $SA=a\sqrt{3}$ và $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có cạnh $BC=a$, $AC=a\sqrt{5}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ A đến $\left( SBC \right)$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
C. $a\sqrt{3}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$.
Gọi $D$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$.
Ta có: $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$.
$\left\{ \begin{matrix}
SA\bot BC \\
AB\bot BC \\
\end{matrix}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right) \right.\Rightarrow BC\bot AD.$.
$\left\{ \begin{matrix}
AD\bot BC \\
AD\bot SB \\
\end{matrix}\Rightarrow AD\bot \left( SBC \right) \right.\Rightarrow {{d}_{(A,(SBC))}}=AD.$
Lại có: $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a.$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên ta có:
$AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.2a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}a.$
Vậy khoảng cách từ A đến $\left( SBC \right)$ là $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
C. $a\sqrt{3}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$.
Gọi $D$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$.
Ta có: $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$.
$\left\{ \begin{matrix}
SA\bot BC \\
AB\bot BC \\
\end{matrix}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right) \right.\Rightarrow BC\bot AD.$.
$\left\{ \begin{matrix}
AD\bot BC \\
AD\bot SB \\
\end{matrix}\Rightarrow AD\bot \left( SBC \right) \right.\Rightarrow {{d}_{(A,(SBC))}}=AD.$
Lại có: $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a.$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên ta có:
$AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.2a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}a.$
Vậy khoảng cách từ A đến $\left( SBC \right)$ là $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án A.