Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đường cao $SA$, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $A B=2, A C=4$. Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Biết diện tích tam giác $SAH$ bằng $2$, thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{16 \sqrt{5}}{15}$.
B. $\dfrac{16 \sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{4 \sqrt{5}}{9}$.
D. $\dfrac{4 \sqrt{5}}{3}$.
Xét tam giác $\begin{aligned}
&\text { Xét tam giác } A B C \text { vuông t?i } A \text { ta có }\\
&A H=\dfrac{B C}{2}=\dfrac{\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}}{2}=\dfrac{2 \sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}
\end{aligned}$ vuông tại A ta có
$AH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
Mà ${{\text{S}}_{\Delta S\text{AH}}}=\dfrac{1}{2}SA.AH\Leftrightarrow 2=\dfrac{1}{2}SA.\sqrt{5}\Rightarrow SA=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{4\sqrt{5}}{5}.\dfrac{1}{2}.2.4=\dfrac{16\sqrt{5}}{15}$.
A. $\dfrac{16 \sqrt{5}}{15}$.
B. $\dfrac{16 \sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{4 \sqrt{5}}{9}$.
D. $\dfrac{4 \sqrt{5}}{3}$.
Xét tam giác $\begin{aligned}
&\text { Xét tam giác } A B C \text { vuông t?i } A \text { ta có }\\
&A H=\dfrac{B C}{2}=\dfrac{\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}}{2}=\dfrac{2 \sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}
\end{aligned}$ vuông tại A ta có
$AH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
Mà ${{\text{S}}_{\Delta S\text{AH}}}=\dfrac{1}{2}SA.AH\Leftrightarrow 2=\dfrac{1}{2}SA.\sqrt{5}\Rightarrow SA=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{4\sqrt{5}}{5}.\dfrac{1}{2}.2.4=\dfrac{16\sqrt{5}}{15}$.
Đáp án A.