Cho hình chóp $S.ABC$ có đường cao $SA$ tam giác $ABC$ là tam giác...

Xác định góc giữa các mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ ta thực hiện các bước sau:
+ Xác định giao tuyến $d$ của $(P)$ và $(Q)$
+ Trong mặt phẳng $(P)$ xác định đường thẳng $a\mathrm{\perp }d$, trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng $b\mathrm{\perp }d$.
+ Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow AM\perp BC$ (do $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại $A$ ).
Lại có $\mathrm{\Delta }SAB=\mathrm{\Delta }SAC(c.g.c)\Rightarrow SB=SC$ hay $\mathrm{\Delta }SBC$ cân tại $S$.
$\Rightarrow SM\mathrm{\perp }BC$
Ta có $\{\begin{array}{l}(SBC)\cap (ABC)=BC\\ AM\mathrm{\perp }BC;AM\subset (ABC)\\ SM\mathrm{\perp }BC;SM\subset (SBC)\end{array}$
$\Rightarrow \stackrel{⌢}{((SBC),(ABC))}=(\widehat{SM,AM})=\widehat{SMA}$.
$S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.AC.\sin BAC={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2\sin 120{}^{\circ }={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}.$
Theo đề bài $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^3}{24}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{3}}SA.S_{ABC}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{24}}\iff SA={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{8}}:{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$.
Lại thấy $\mathrm{\Delta }ABM$ vuông tại $M$ có $AB=a;\widehat{ABM}={\displaystyle \frac{180{}^{\circ }-\widehat{BAC}}{2}}=30{}^{\circ }$
$\Rightarrow AM=AB.\sin 30{}^{\circ }={\displaystyle \frac{a}{2}}$.
Xét tam giác $\mathrm{\Delta }SAM$ vuông tại $A$ có $SA=AM={\displaystyle \frac{a}{2}}$ nên $\mathrm{\Delta }SAM$ vuông cân tại $A$ hay $\widehat{SMA}=45{}^{\circ }$
Vậy góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $45{}^{\circ }$.