Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đường cao $SA=2a$, tam giác ABC vuông tại C, . Gọi H là hình chiếu của A trên SC, ${B}'$ là điểm đối xứng của B qua C. Thể tích của khối chóp $H.A{B}'B$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
B. $\dfrac{6{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
Gọi I là hình chiếu của H lên (ABC).
Xét tam giác ABC ta có $\cos \widehat{CAB}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ và $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a$.
Xét tam giác SAC ta có $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+a{{C}^{2}}}=a\sqrt{7}$ và $HC.SC=A{{C}^{2}}\Rightarrow HC=\dfrac{A{{C}^{2}}}{SC}=\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}$
Xét tam giác SAC ta có $\sin \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}\left( 1 \right)$
Xét tam giác HIC ta có $\sin \widehat{HCI}=\dfrac{HI}{HC}\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) ta có $HI=\dfrac{SA.HC}{SC}=\dfrac{6a}{7}$.
Ta có ${{V}_{H.A{B}'B}}=\dfrac{1}{3}HI.{{S}_{A{B}'B}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{6a}{7}.\dfrac{1}{2}AC.B{B}'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{6a}{7}.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{2\sqrt{3}}{7}{{a}^{3}}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
B. $\dfrac{6{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{7}.$
Gọi I là hình chiếu của H lên (ABC).
Xét tam giác ABC ta có $\cos \widehat{CAB}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ và $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a$.
Xét tam giác SAC ta có $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+a{{C}^{2}}}=a\sqrt{7}$ và $HC.SC=A{{C}^{2}}\Rightarrow HC=\dfrac{A{{C}^{2}}}{SC}=\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}$
Xét tam giác SAC ta có $\sin \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}\left( 1 \right)$
Xét tam giác HIC ta có $\sin \widehat{HCI}=\dfrac{HI}{HC}\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) ta có $HI=\dfrac{SA.HC}{SC}=\dfrac{6a}{7}$.
Ta có ${{V}_{H.A{B}'B}}=\dfrac{1}{3}HI.{{S}_{A{B}'B}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{6a}{7}.\dfrac{1}{2}AC.B{B}'=\dfrac{1}{3}.\dfrac{6a}{7}.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{2\sqrt{3}}{7}{{a}^{3}}.$
Đáp án D.