Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại Avới...

Cách giải:

( Trong ( SBC) , kẻ SI⊥ BC( I∈ BC) ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(SBC)\bot (ABC) \\
(SBC)\cap (ABC)=BC\Rightarrow ST\bot (ABC) \\
(SBC)\supset SI\bot BC \\
\end{array} \right.$
Trong ( ABC) kẻ IH⊥ AB; IK⊥ AC( H∈ AB, K∈ AC) ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot IH \\
AB\bot SI(SI\bot (ABC)) \\
\end{array}\Rightarrow AB\bot (SIH)\Rightarrow AB\bot SH \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(SAB)\cap (ABC)=AB \\
(SAB)\supset SH\bot AB \\
(ABC)\supset IH\bot AB \\
\end{array}\Rightarrow \angle ((SAB);(ABC))=\angle ((SH;IH))=\angle SHI={{60}^{{}^\circ }}. \right.$
Chứng minh tương tự ta có $\angle SKI={{60}^{0}}$.
Khi đó ta có: $\Delta SIH=\Delta SIK$ (cạnh góc vuông – góc nhọn) ⇒ IH= IK⇒ Ilà chân đường phân giác của góc A. Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: $\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IB=\dfrac{1}{3}BC$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{5}\Rightarrow IB=\dfrac{a\sqrt{5}}{3},IC=\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$
Trong ( ABC) kẻ IN⊥ BC( N∈ AB) .
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(SBC)\bot (ABC) \\
(SBC)\cap (ABC)=BC=IN\bot (SBC)\Rightarrow RI\bot SB \\
(ABC)\supset IN\bot BC \\
\end{array} \right.$
Trong ( SBC) kẻ IP⊥ SB( P∈ SB)
⇒ SB⊥ ( IPN) ⇒ SB⊥ NP.
Ta có: $=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(SBC)\cap (SAB)=SB \\
(SBC)\supset IP\bot SB\quad \Rightarrow \angle ((SBC);(SAB))=\angle (IP;NP)=\angle IPN \\
(SAC)\supset NP\bot SB \\
\end{array} \right.$
Dễ thấy $\Delta \operatorname{BNI}-\Delta BCA(gg)\Rightarrow \dfrac{NI}{AC}=\dfrac{BI}{AB}\Rightarrow N=\dfrac{2a\cdot \dfrac{a\sqrt{5}}{3}}{a}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IB}{BC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow IH=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{2a}{3}$
Xét tam giác vuôn SHIcó: SI= IH.\tan 60 0 = 2 a3.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SIBcó: $SI=IH\cdot \tan {{60}^{{}^\circ }}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
Do IN⊥ ( SBC) ⇒ IN⊥ IPnên ∆ INPvuông tại I.
Vậy $\angle IPN=\dfrac{IN}{IP}=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2a\sqrt{15}}{3\sqrt{17}}}=\dfrac{\sqrt{51}}{3}=\tan \alpha $