Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông, $SA=SB=SC=AB=BC=2a.$ Diệntích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng

Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có các cạnh bên bằng nhau là $R=\dfrac{{{\left( canhben \right)}^{2}}}{2h}$ với $h$ là chiều cao của hình chóp.
- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:

Gọi $O$ trung điểm của $AC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC$ nên $SO\bot \left( ABC \right)$.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB=BC=2a\Rightarrow AC=2a\sqrt{2}\Rightarrow OA=a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOA:SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là $R=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2.SO}=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}}{2.a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp là $S=4\pi {{R}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}.$