Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại C, $BC=2a, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\sqrt{2}a$
B. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$
C. $\dfrac{a}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
A. $\sqrt{2}a$
B. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$
C. $\dfrac{a}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
Cách 1
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SAC$
Khi đó $\left( SBC \right)\bot \left( SAC \right)$ theo giao tuyến là SC. Trong $\left( SAC \right)$, kẻ $AH\bot SC$ tại H suy ra $AH\bot SBC$ tại H. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng AH. Ta có $AC=BC=a, SA=a$ nên tam giác SAC vuông cân tại A.
Suy ra $AH=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}$
Cách 2:
Ta có $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{A.SBC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SC$nên tam giác SBC vuông tại C
Suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{A.SBC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3.\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}C{{A}^{2}}}{\dfrac{1}{2}SC.BC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SAC$
Khi đó $\left( SBC \right)\bot \left( SAC \right)$ theo giao tuyến là SC. Trong $\left( SAC \right)$, kẻ $AH\bot SC$ tại H suy ra $AH\bot SBC$ tại H. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng AH. Ta có $AC=BC=a, SA=a$ nên tam giác SAC vuông cân tại A.
Suy ra $AH=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}$
Cách 2:
Ta có $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{A.SBC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SC$nên tam giác SBC vuông tại C
Suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{A.SBC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{3.\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}C{{A}^{2}}}{\dfrac{1}{2}SC.BC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Đáp án B.