Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $SA=3a$ và $SA\bot \left( ABC \right)$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{11\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{22\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{24}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ khi đó $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$, dựng $Mx//SA\Rightarrow Mx\bot \left( ABC \right)\Rightarrow Mx$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong $\left( SAM \right)$ kẻ trung trực $SA$ cắt $Mx$ tại $I$ $\Rightarrow IS=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
$R=IA=\sqrt{I{{N}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Suy ra : $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{11\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
A. $\dfrac{11\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{22\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{24}$.
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$, dựng $Mx//SA\Rightarrow Mx\bot \left( ABC \right)\Rightarrow Mx$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong $\left( SAM \right)$ kẻ trung trực $SA$ cắt $Mx$ tại $I$ $\Rightarrow IS=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
$R=IA=\sqrt{I{{N}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Suy ra : $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{11\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
Đáp án A.