Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, tam giác $SAB$ vuông...

Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AB$. Khi đó: $SE\mathrm{\perp }AB$.
Mà $\left(SAB\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$. Suy ra: $SE\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
Gọi $F,G$ lần lượt là trung điểm đoạn $BC;BF$.
Tam giác $ABC$ đều nên $AF\mathrm{\perp }BC$.
Xét tam giác $ABF$ có $E,G$ lần lượt là trung điểm $AB,BF$ nên $EG//AF$.
Suy ra: $EG\mathrm{\perp }BC$.
Ta có: $SE\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow SE\mathrm{\perp }BC$ và $EG\mathrm{\perp }BC$.
Suy ra: $BC\mathrm{\perp }\left(SEG\right)$ $\Rightarrow \left(SEG\right)\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $E$ trên $SG$.
Suy ra: $EH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$. Nên $d(E;\left(SBC\right))=EH$.
Do $\mathrm{\Delta }SAB$ vuông cân tại $S;SA=a\sqrt{6}$ nên $AB=SA.\sqrt{2}=2\sqrt{3}a\Rightarrow SE=a\sqrt{3}$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh $AB=2\sqrt{3}a$ nên $AF={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.2\sqrt{3}a=3a$. Suy ra: $EG={\displaystyle \frac{1}{2}}AF={\displaystyle \frac{3}{2}}a$.
Tam giác $SEG$ vuông tại $E$, $EH\mathrm{\perp }SG$ nên $EH={\displaystyle \frac{ES.EG}{SG}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}.{\displaystyle \frac{3}{2}}a}{\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}a\right)}^2}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{7}}a$.
Suy ra: $d(A;\left(SBC\right))=2.EH={\displaystyle \frac{6\sqrt{7}}{7}}a$